Moscow Pre-Finals Workshop 2019. KAIST Contest

本来打算开\(\text{2019-2020 XX Opencup GP of Tokyo}\)的，然后发现有道\(\text{DFA}\)题，所以换到这场了。

会做的：\(A\)、\(C\)、\(F\)、\(H\)
看了题解才会的：\(E\)、\(G\)、\(I\)、\(J\)
看完题解也不会的：\(D\)
看了下题解长度直接跑路的：\(B\)

E

题意：
给定\(2n\)种菜单，每种菜在早上和晚上的价格不同\(a_i,b_i\)，不能吃两次同一种菜。
求每次\(i\in [1,n]\)，经过\(i\)天的最小花费（每天吃两顿）。

考虑费用流
\(S\longrightarrow i(flow:1,cost:0)\)
\(i\longrightarrow t_1(flow:1,cost:a_i)\)；\(i\longrightarrow t_2(flow:1,cost:b_i)\)
\(t_1/ t_2\longrightarrow T(flow:k,cost:0)\)
这个\(k\in[1,n]\)

考虑每次\(t_1,t_2\)与\(T\)间分别增加一个流量。
考虑模拟费用流，比如早餐增加1，只有两种情况

• 一个原本没点过的，吃早餐
• 一个原本作为晚餐的，改成早餐，然后一个原本没点过的，吃晚餐

为什么不能反悔多次呢？如果中间经历了至少反悔两次，证明这个交换会更优，那么之前就已经交换过了。

G

题意：
给定\(K\)，全集为\(U=\{0,1,\ldots,2^K-1\}\)，若子集\(A\subset U\)是好的当且仅当：
（1）若\(x,y\in S\)，则\(x\And y\in S\)。
（2）若\(x,y\in S\)，则\(x\mid y\in S\)。
给定长度为\(n\)的子集\(\{a_i\}\)（\(a_i\in[0,2^K-1]\)）。求包含这个子集的好的\(A\)的数量（\(A\)不为空集）。

场上想出这题的人脑子长啥样的/kel

对于每一个数字\(x\in[0,2^K -1]\)，都可以描述成一个子集\(S\subset U\)（\(U=\{0,1,\ldots,K-1\}\)），注意这里的\(U\)与题面中不同。

定义1：对于一个有向图\(G=(V,E)\)，若存在\((x,y)\in E,(y,z)\in E\)，则\((x,z)\in E\)，则将\(G\)称为传递图。

定义2：子集族\(\mathcal{F}\)对运算$\cap ,\cup \(封闭，\)\empty \in \mathcal{F},U\in \mathcal{F}\(。令\)f(\mathcal{F})\(为子集族\)\mathcal{F}\(到\)G\(的映射。具体而言，\)G=(V,E)\(，其中\)V=U\(，\)E={(u,v)：\forall S\in \mathcal{F},u\in S,\text{s.t.}v\in S}\(。换言之，若对于\)u,v\(，每个包含\)u\(的集合均包含\)v\(，那么有向边\)(u,v)\(存在于图\)G$。

显然，这个图\(G\)是传递图。

定义3：对于传递图\(G=(V,E)\)，其中\(V=U\)。令\(g(G)\)为传递图\(G\)到子集族\(\mathcal{F}\)的映射。具体而言，\(\mathcal{F}=\{S\subset U：\forall u\in S,(u,v)\in E,\text{s.t.} v\in S\}\)。换言之，若有向边\((u,v)\in E\)，对于每个\(S\in \mathcal{F}\)，如果\(u\in S\)，则\(v\in S\)。

简单分析可得这个子集族\(\mathcal{F}\)对运算\(\cap,\cup\)封闭。

引理：
\((i)\)：子集族\(\mathcal{F}\)对运算\(\cap ,\cup\)封闭，若\(\empty\in \mathcal{F},U\in \mathcal{F}\)，则\(g(f(\mathcal{F}))=\mathcal{F}\)
\((ii)\)：对于任意传递图\(G\)，满足\(f(g(G))=G\)。

证明
\((i)\)：
对于任意\(S\in \mathcal{F}\)，假设\(S\not\in g(f(\mathcal{F}))\)（令\(f(\mathcal{F})=(V,E)\)）。
由于\(S\not\in g(f(\mathcal{F}))\)，即\(\exists u\in S,v\not\in S\)，\(\text{s.t.}(u,v)\in E\)。由于\(u\in S,v\not\in S\)，那么\((u,v)\not\in E\)，矛盾。
故\(g(f(\mathcal{F}))=\mathcal{F}\)。
\((ii)\)：
对于任意\((u,v)\in E\)（\(G=(V,E)\)），假设\((u,v)\not\in f(g(G))\)。
由于\((u,v)\not\in f(g(G))\)，即\(\exists S\in g(G)\)，\(\text{s.t.} u\in S,v\not\in S\)。由于\((u,v)\in E)\)且\(u\in S\)，那么\(v\in S\)，矛盾。
故\(f(g(G))=G\)。

根据引理，子集族\(\mathcal{F}\)与传递图\(G=(U,E)\)是一一对应的。（\(\mathcal{F}\)对运算$\cap,\cup \(封闭，\)\empty\in \mathcal{F},U\in \mathcal{F}$）

所以可以将对子集族的计数，转为对传递图的计数。
这里是钦定了包含\(\empty ,U\)，故在实际计算的时候，需要枚举\(S,T(S\subseteq T)\)作为边界。

对于\(S=\empty,|T|=i\)，分别算出来，题面中的\(n=0\)的方案数，为\(\{1,4,29,355,6942,209527,9535241\}\)。（如果有多项式复杂度计算这个，请告诉我，十分感谢！）

然后按边，不断构成一个团的方式加，感性理解这样会更快。
复杂度\(O(能过)\)。

I

题意：
给定一个\(n\)阶排列\(\{a_i\}\)，对于每个位置\(i\)，输出有多少个位置\(j(j\neq i)\)，使得删除\(j\)后，包含\(i\)的\(\text{LIS}\)（最长上升子序列）减小。
\(n\le 2.5e5\)

定义1：令\(f_i\)为以位置\(i\)结尾的最长\(\text{LIS}\)长度。
定义2：令\(S_l=\{i：f_i=l\}\)

观察1：对于任意\(l\)，\(S_l\)的\(a\)单调递减。形式化的，\(\forall i,j\in S_l(i< j)\)，有\(a_i>a_j\)。

构造有向图：若\(f_i\)的dp转移，\(j\)能转移到\(i\)（\(j< i\)），则\((j,i)\in E\)。

答案就是正反都建个支配树，然后深度之和。

定义3：对于任意\(l\)，\(S_l\)的区间指将元素离散化后的区间。

观察2：对于任意\(l\)，\(i\in S_l\)，\(S_{l-1}\)内向\(i\)连边的位置，为一个区间。且对于所有\(i\in S_l\)，随\(i\)增大，区间的左右端点均不减。

考虑\(\text{DAG}\)建支配树，是求入边端点的\(\text{lca}\)。

引理：对于任意\(l\)，\(S_l\)内区间的\(\text{lca}\)为区间的两端点的\(\text{lca}\)。

对\(l\)归纳，容易证明。

J

题意：
\(\text{(n-1)-n}\)二分图，\(m\)条边，边流量为\(\infty\)，源点向左侧\(n-1\)个点流\(n\)，右侧\(n\)个点向汇点流\((n-1)\)，求最大流是否为\(n(n-1)\)，且输出\(m\)条边的方案。
\(n\le 1e5,m\le 2e5\)

同\(\text{agc29f}\)，先构造出一棵树，然后由叶子至根构造。