杂题

题意

对于两个长度分别为\(n,m\)的序列\(A,B\)，初始时指针为\((0,0)\)。
若当前和\(>0\)，两个指针\((a,b)\)随意一个增加\(1\)。
若当前和\(=0\)，选择下一个位置为\(1\)的随意一个增加\(1\)。
一个序列对合法当且仅当任意时刻和\(\ge 0\)。
给定两个有部分位置缺失的序列，给部分位置填\(\{-1,1\}\)，求有多少种方案使得序列对合法。
\(n,m\le 5000\)

做法

结论：令\(s_a,s_b\)分别为两个序列以\(-1\)结尾的最小前缀和（若序列无\(-1\)则取整个序列的前缀和）。若\(s_a,s_b\)均不为整个序列的和，合法当且仅当\(s_a+s_b\ge -1\)；否则合法当且仅当\(s_a+s_b\ge 0\)。

proof
若\(s_a+s_b\ge 0\)，则显然合法。
（1）若均不为整个序列的和，且满足\(s_a+s_b=-1\)。
首先这是充分的： 在到达\((a-1,b)\)或\((a,b-1)\)时，前缀和为\(0\)，此时\(b+1/ a+1\)必定为\(1\)（否则不为最小前缀和），那么下一步移动到\((a-1,b+1)/(a+1,b-1)\)，那么合法。
若\(s_a+s_b<-1\)，则不合法：
由于\(s_{a-1}+s_{b-1}\le 0\)，某时刻到达\((a-1,b-1)\)则必定不合法，在当前的指针所在位置\(\le (a,b)\)，若大于\(0\)，则在不超过\((a,b)\)的基础上移动，一般的，若某一时刻到达\((a-1,x)\)，当前和\(>0\)，那么移动第二维，否则由于\(a\)的位置为\(-1\)，也必定移动第二维，故一定能到达\((a-1,b-1)\)。
（2）若存在一个使得为整个序列的和，且满足\(s_a+s_b\ge 0\)。
若\(s_a+s_b\le -1\)，则不合法：
若两个均为整个序列，显然最后和会\(\le -1\)；
假设\(a\)为整个序列，\(b\)不为整个序列，那么到达\((a,b-1)\)则不合法，能到达\((a,b-1)\)同上。

考虑其中一个序列，\(f_{i,j,0/1}\)为填完\([i,n]\)，以\(-1\)结尾（若暂时还没有\(-1\)则最小前缀和为\(n-i+1\)）的最小前缀和\(=j\)，是否\(j\)等于总和，的方案数。

初始时\(f_{n+1,0,1}=1\)。

• \(i-1\)填\(1\)；\(f_{i,j,0}\rightarrow f_{i-1,j+1,0},f_{i,j,1}\rightarrow f_{i-1,j+1,1}\).

• \(i-1\)填\(-1\)：\(f_{i,j,0}\rightarrow f_{i-1,\min(-1,j-1),0},f_{i,j,1}\rightarrow f_{i-1,\min(-1,j-1),[j\le0]}\)