XXI Open Cup. Grand Prix of Korea

会做的：\(C\)、\(G\)、\(H\)、\(J\)
写一下不会做的题。

A

题意：
给定\(n,m\)，有一个\(\text{n-m}\)的二分图，中间有\(n\times m\)条容量为\(1\)的边，源点向左边\(n\)个点分别有容量为\(a_i\)的边，右边\(m\)向汇点分别有容量为\(b_i\)的边。
\(q\)次操作，每次给\(a_i,b_i\)加一或减一。
每次操作结束后，回答最大流是否为\(\sum a_i\)。

Gale–Ryser 定理：将\(a_i\)降序排序，最大流为\(\sum a_i\)的充要条件为\(\forall k\in[1,n]\)，\(\text{s.t.} \sum\limits_{i=1}^k a_i\le \sum\limits_{i=1}^m \min(b_i,k)\)。

证明：
最大流\(=\sum a_i\)等价于最小割\(=\sum a_i\)。
即枚举源点左边割掉\(n-k\)条边时（\(\forall k\in [1,n]\)），最小割\(\ge \sum a_i\)。
令源点割掉的集合与汇点割掉的集合分别为\(S,T\)。
此时割大小为：
\(\sum\limits_{i\not\in S }a_i+\sum\limits_{i\not\in T}b_i+k\times(m-|T|)\)
显然\(\sum\limits_{i\not\in S}a_i\)最优为\(\sum\limits_{i=1}^n a_i-\sum\limits_{i=1}^k a_i\)，而一个点，有两种独立的选择，付出的代价分别为\(b_i\)和\(k\)。
那么最小割为\(\sum\limits_{i=1}^n a_i-\sum\limits_{i=1}^k a_i+\sum\limits_{i=1}^n \min(b_i,k)\)。
需要满足\(\sum\limits_{i=1}^n a_i-\sum\limits_{i=1}^k a_i+\sum\limits_{i=1}^n \min(b_i,k)\ge \sum\limits_{i=1}^n a_i\)，即\(\sum\limits_{i=1}^k a_i\le \sum\limits_{i=1}^m \min(b_i,k)\)。
当\(k=0\)时，不等式取等号，故对于\(1\le k\le n\)仅需满足\(\sum\limits_{i=1}^k a_i\le \sum\limits_{i=1}^m \min(b_i,k)\)。
得证。

\(\sum\limits_{i=1}^m \min(b_i,k)=\sum\limits_{j=1}^k \sum\limits_{i=1}^m [b_i\ge j]\)。
令\(c_k=\sum\limits_{i=1}^m [b_i\ge k]\)
\(\sum\limits_{i=1}^k a_i\le \sum\limits_{i=1}^m \min(b_i,k)\)等价于\(\sum\limits_{i=1}^k (c_i-a_i)\ge 0\)。

容易用线段树维护。

总复杂度\(O(n\log n)\)。（假设\(n,m,q\)同阶）

细节：
注意输入时\(b_i=0\)的数据。

B

题意：
给定长度分别为\(n,m\)的序列\(\{A_i\},\{B_i\}\)。
对于坐标\((i,j)\)的格子值为\(A_i+B_j\)（\(\forall i\in[1,n],j\in[1,m]\)）。
求有多少点对\(i\le j\)，满足\((i,1)\)只走右或下通过值\(\ge 0\)的格子走到\((j,m)\)。

结论：不能从\((1,1)\)走到\((n,m)\)，当且仅当存在下列四种条件之一：
（1）\(\exists i\in[1,n]\)，\(\text{s.t.}A_i+B_j<0(\forall j\in[1,m])\)
（2）\(\exists j\in[1,m]\)，\(\text{s.t.}A_i+B_j<0(\forall i\in[1,n])\)
（3）\(\exists x\in[1,n],y\in[1,m]\)，\(\text{s.t.}\forall i\le x,A_i+B_y<0;\forall j\le y,A_x+B_j<0\)
（3）\(\exists x\in[1,n],y\in[1,m]\)，\(\text{s.t.}\forall i\ge x,A_i+B_y<0;\forall j\ge y,A_x+B_j<0\)

证明：
这显然是必要条件，以下证明这是充分的（假设不存在任意一种，一定可到达）。
假设满足\(\min A_i+\max B_j\ge 0,\max A_i+\min B_j\ge 0\)。
那么我们要做的事就是，从起点到达蓝色方格，再沿着黄色方格到达终点。
两部分是对称的，现在集中精力到达蓝色方格。
令\((p,q)\)为中间那个交点。
假设左上角\((p-1)\times(q-1)\)网格如果同时包含被锁住的行和列，那么不可行。
否则，存在一行或一列，使得所有单元格均可达（原因和之前的一样）。
那么可以把\((p,q)\)再进一步缩小，通过归纳，得证。

考虑对四种不合法的情况求并
（1）\(A_i+\max B_j<0\)，则\(s\le i\le e\)的所有点对\((s,e)\)不可行。
（2）考虑最小的\(B_j\)，对于满足\(A_i+B_j<0\)，分成若干段\([l_1,r_1],[l_2,r_2],\ldots,[l_m,r_m]\)，对于\((s,e)\)不合法当且仅当\(\exist k\)，\(\text{s.t.}l_k\le s\le e\le r_k\)。
（3）固定\(i\)，在\(i\)找到最大前缀均不合法，其在方格中向上抱住的部分均不合法。
（4）同（3）

可以通过矩阵并求出，但稍微分析一下，是可以不需要任何数据结构的。
总复杂度\(O(n(\log(n)+\log m))\)，目前在\(\text{gym}\)上是最优解。

C

题意：
给定一张无向图，需要给每条边定向（定向有费用），求有向强连通图的最小费用。
\(n\le 18\)。（不包含重边与自环）

如果有低于\(O(n^32^n)\)欢迎一起交流。

D

题意：
给定一张带权的无向图，要求补齐剩下的边及边权，要求\(\forall i,j,k\)，\(w(i,j)\ge \min(w(i,k),w(j,k))\)，要求总边和和最小。
\(n,m\le 300000\)

很容易发现，可以将条件改写成\(\forall i,j\)，\(w(i,j)\ge\)所有路径最小值的最大值。
由于也包含\((i,j)\)单条边的路径，所以\(w(i,j)=\)所有路径最小值的最大值。

如果我们得到了一张图，判合法性，就是求一个最大生成树，边\((i,j)\)得满足\(w(i,j)\)等于\(i,j\)路径上的最小值。

再回到原题，求一个最大生成森林，其他每条边都应是路径上的最小值，不在同一连通块的边权为\(1\)。

正确性显然

E

题意：
给定一个\(n\)个点\(m\)条边的无向图，求有多少\(l\le r\)，使得\(l,l+1,\ldots,r\)的导出子图为一条链。

\(\text{cc}\)出过树上版本的题...

将链抽象化

• \(deg_i\le 2\)
• 连通或无环
• \(V-E=1\)

考虑图如果是树，由于不会形成环，那么可以略去一个条件

• \(deg_i\le 2\)
• \(V-E=1\)

对于第一个条件，令\(f(i)\)为最小的\(j\)，满足\([i,j]\)存在一个\(deg_i\ge 3\)的点，特殊的，若不存在这样的\(j\)，令\(f(i)=n+1\)。
可以双指针线性。

对于第二个条件，令\(\text{EC}(i,j)=(j-i+1)-边数\)，对于\(\text{EC}(i,j)=1\)的\(i\le j\)可能合法。

对于一条边\((x,y)(x\le y)\)，可以将\(1\)加到矩形范围\([1,x]\times[y,n]\)。
由于\(V-E\ge 1\)，因此只需要知道最小值及数量即可。

对左端点扫描线即可，查询\([i,f_i)\)即可。

对于一般情况，需要将"连通或无环"这个条件加入进来，令\(g(i)\)为最小的\(j\)，是的\([i,j]\)存在环。
也是可以通过双指针\(\text{LCT}\)做到\(O(m\log n)\)。
同样扫描线，查询\([i,\min(f_i,g_i))\)即可。

具体而言，如果枚举\(i\)，每次向右移，查看是否会形成环，显然这样复杂度是不对的。
枚举右端点，维护最小生成树，才可以做到\(O(m\log n)\)。

当然还可以并查集分治，感兴趣可以写写/se。

细节：
由于要避免多次访问同一个点，为了方便令\(g_i\)为最大的\(j\)使得\([i,j]\)不形成环：
令\(\text{Solve(l,r,L,R)}\)表示\(g_l,\ldots,g_r\in[L,R]\)，在进入此递归前，保证，\([r,L]\)间的边以加入。

F

题意：
给定\(n\)个带权区间\((l_i,r_i,w_i)\)（\(l_i\le r_i,1\le w_i\le 10^{12}\)），要求保留一些区间，使得区间图为树（区间有交连边），求保留下来的区间权值和最大是多少。
\(n\le 250000,l_i,r_i\le 500000\)

观察1：区间图为树的充要条件为不存在一个位置被至少三个区间所包含。

证明显然

引理：若干个区间，每个位置被不超过\(K\)个区间覆盖，充要条件为，可以将区间分成\(K\)个集合，使得集合内部区间两两不交。

证明：
充分性是显然的。
对于必要性，考虑构造，对区间按左端点排序，对于已选好的\(K\)个集合，若加入新的区间，必定存在一个集合与其不交。

那么对于此题，对于\((l_i,r_i,w_i)\)，\(l_i\)向\(r_i+1\)流一条容量为\(1\)，费用为\(-w_i\)的边，对于\(\forall i(i\ge 0)\)，由\(i\)想\(i+1\)流一条容量为\(\infty\)，费用为\(0\)的边。
源点与汇点各有容量为\(2\)的边，跑一个最大流最小费用即可。

但这样复杂度显然不行，考虑优化。

定义：令\(dist_i\)为到点\(i\)的最短路

由于此图是\(\text{DAG}\)图，所以流为\(1\)的情况可以直接在这上面线性跑。
但跑完流量\(1\)之后，原图会有许多边取反。

考虑取反这些边的性质，\(dist_u+w(u,v)=dist_v\)，取反后的边时\((v,u,-w)\)，有\(dist_v+(-w)-dist_u=0\)，可以应用\(\text{Johnson}\)最短路算法。

\(\text{Johnson}\)最短路
有向带边权图（可能存在负权边），若已知任意一点到其他点的最短路。
由于\(dist_u+w(u,v)\ge dist_v\)，有\(dist_u+w(u,v)-dist_v\ge 0\)，将边权修改为\(w'(u,v)=dist_u+w(u,v)-dist_v\)，那么所有边均为非负，令新图上\(s,t\)的最短路为\(dist'(s,t)\)，那么在原图上\(s,t\)的最短路则为\(dist'(s,t)-(dist_s-dist_t)\)。
正确性显然

总复杂度\(O(n\log n)\)。

G

经典的dp套dp，没写了

H

题意：
手里有\(0\sim N-1\)的卡牌，每张卡牌有\(c_i\)张，对于一次操作，可以使用可重卡牌集合\(S=\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}(k\ge 1)\)生成\(\text{mex}\{S\}\)的卡牌，希望手上只留下一种卡牌，问最后能留下的最大数字是多少。

简单题。

I

题意：
给定一棵带点权树，支持给某个子树的\(a_i+1\)，支持给一条路径的\(a_i+1\)，在每次操作完后，询问带权重心，若有多个重心，取离\(1\)最近的那一个。
\(n,q\le 1e5\)

先不考虑修改，令\(S=\sum a_i\)，对于带权重心，以其为根，不存在某个儿子，其子树的\(\sum a_i\)严格大于\(S/2\)。

由于\(a_i\ge 0\)，带权重心可能在一条链上。

考虑令\(1\)为根，除\(1\)外，每个点\(i\)都有一个外向子树，外向子树最多包含\(S/2\)，这意味着\(i\)这棵子树至少包含\(\lceil \frac{S}{2}\rceil\)。
按\(\text{DFS}\)序排列，找到前缀和第一个大于等于\(\lceil \frac{S}{2}\rceil\)的位置，那么重心一个是包含这个位置所代表的点的。

假设其为\(u\)，跳到\(u\)最近的祖先，满足\(size_i\ge \lceil \frac{S}{2}\rceil\)（\(size_u=\sum\limits_{v\in subtree(u)}a_v\)）
然后继续往上跳，\(u\)跳到\(fa_u\)需要满足\(size_u\le \lfloor\frac{S}{2}\rfloor\)。
均可以用倍增加速。

子树大小用线段树维护。
\(O(n\log^2 n)\)（假设\(n,q\)同阶）

J

题意：
给定一个长度为\(n\)的'L','R','U','D'的字符串，\((0,0)\)点是障碍物，\(q\)次询问，每次给定一个坐标，问沿着字符串走，如果某一步之后走到了\((0,0)\)则忽略那一步，问最后走到的位置。

简单题。

K

给定二维平面上的\(n\)个点（两两不同），求最短的序列\(\{s_1,\ldots,s_k\}\)，构建两张图，\(i\)为奇数，在第一张图连\(s_i,s_{i+1}\)，为偶数则在另外一张图，使得两张图均连通。要求在各自图上为平面图。
\(n\le 1000\)

为什么这种题都想不出来...
做法1：将点按\((x,y)\)分别为第一和第二关键字排序，然后顺次连边即可。

做法2：
先随意求出一棵生成树，但可能线段直接有交，如果两点\((a,b)\)和\((c,d)\)有交，那么换成\((a,c)\)和\((b,d)\)无交，且欧几里得距离之和更小。
那么求出欧几里得最小生成树，必定满足为平面图。
然后也一次遍历即可。

L

给定长度为\(n\)的钢板，对于位置\(i\)，其向上的宽度与向下的宽度分别为\(a_i,b_i\)。
可以进行若干次操作，每次把其中一块钢板，垂直切或水平切，切成恰好两块钢板，求切成若干块矩形的钢板的最小操作次数。

钢板的边界，由若干凸点与凹点组成。

比如，矩形为四个凸点组成。

结论1：存在最优解，每次切，两个端点至少有一个凹点。

证明：
由定义可知两个端点均不为凸点，若两个点均为直线的中间部分，那么可以将最优解的部分切线移动，至少之一在端点上。

以下假设每次切都至少有一个凹点。
每次切完后，凸点个数可能增加，凹点个数不会增加，凹点个数一定减少。
那么最小化操作次数，就是等价于最大化两个凹点的操作数。

考虑两个凹点的操作形态
（1）垂直切，这个显然。
（2）水平切，在两个凸点切，中间的高度需要全部大于凸点所在的位置。

结论2：连接两个凸点操作形态，在二维平面上，若两种操作的线段有交，则两条线段间有边，两个凹点的最大操作数，等于线段间的最大独立集。

水平之间的操作无交，垂直之间的操作无交，故这是个二分图。
二分图最大独立集=点数-最大匹配。那么可以二分图匹配做到\(O(|V|^3)\)。

观察这个二分图的性质，对于垂直的位置\(i\)，对于所有操作\(l,r\)，若\(l\le i\le r\)，那么这两种操作是必定有连边的。
所以可以转化成：

有若干点与区间，选择一个区间，则区间内的点不能选择；若选择一个点，包含这个点的区间不能选择。最多选择多少。

这是个经典贪心问题。

总复杂度\(O(n\log n)\)。