【UR #20】跳蚤电话

题意

uoj

做法

第一次打uoj比赛，居然有签到题，体验良好qwq

容易观察到，一个点一旦加入\(S\)就不会再出来，且边形成了一个虚树。
任意时刻，操作为在虚树中的某条边中间选取一个点加进来，或在外面选取一个点，与虚树的一个叶子连边。

自然的，会想到对于一棵树，目前\(S=\{root\}\)，枚举一个点\(x\)，那么路径\(\text{root-x}\)中间的点可以随意选取顺序：假设中间除\(x,root\)有\(m\)个点，这部分复杂度为\(m!\)。

断开这些边，对于剩下若干棵树，即可转化为子问题。
有本质不同\(O(n)\)个子问题，这样能做到\(O(n^3)\)或\(O(n^2)\)。

这题性质非常好：对于根节点\(root\)，假设其有若干子树，那么若干子树都是分别独立的。

那么令\(f_i\)为单独考虑\(i\)子树，初始\(S=\{i\}\)的方案数。
递归解决这个问题，但现在，通过\(root\)的若干儿子的\(f_i\)直接得到\(f_{root}\)是无法做到的，因为儿子进入这个集合的时间未知。

额外的，令\(g_i\)：在\(i\)子树的基础上，\(i\)上面加入一个点（即钦定\(i\)有父亲节点），\(S\)初始为\(fa_i\)，的方案数。

因为如果我们得到了\(g_i\)，那么可以通过\(root\)儿子节点的\(g_{v_i}\)，很容易得到\(f_{root}\)。

考虑得到\(g_u\)，两种情况
（1）\(fa_u\)第一次就选取了\(u\)，此时方案数为\(f_u\)
（2）\(fa_{u}\)一开始延伸到了\(u\)的某个子树，这种情况较为复杂。

假设\(u\)的儿子分别为\(\{v_1,\ldots,v_m\}\)，令\(size_i\)为\(i\)子树大小。
当\(S\)延伸到了\(v_i\)，在\(S\)子树加入\(u\)前，\(S\)不会延伸到其他子树，而且在加入\(u\)后，\(u\)的儿子就相互独立了，枚举\(u\)加入的时间：

\[\begin{aligned} &\sum\limits_{j=2}^{size_{v_i}+1}{size_u-j\choose{size_{v_1},...,size_{v_i}-(j-1),...,size_{v_m}}}\prod\limits_{k=1}^m g_{v_k}\\ &=(\prod\limits_{k=1}^m g_{v_k})(\prod\limits_{k\neq i}\frac{1}{(size_{v_k})!})(\sum\limits_{j=2}^{size_{v_i}+1}\frac{(size_u-j)!}{(size_{v_i}-j+1)!})\\ \end{aligned}\]

最后那个和式，是经典组合数上指标求和，很容易得到封闭形式。

总复杂度\(O(n)\)。