PE444
题意
有\(n\)个人按顺序站成一排，每个人手里都有一张写有数字的牌（构造\(1\sim n\)的排列）。
初始牌都是未知的，甚至连每个人都不知道自己手里的牌。
他们在玩游戏，从前往后按顺序，选择
（1）翻开自己的牌，公之于众。
（2）选择一位前面在场的人，拿走他的牌离场，那个人继承这个人的牌，翻开并公之于众。
每个人都绝顶聪明，希望最后自己手里的牌最大。
令\(E(p)\)为期望情况下，最后未离开的人数。
令\(S_1[n]=\sum\limits_{p=1}^N E(p)\).
有\(S_k[n]=\sum\limits_{p=1}^N S_{k-1}[p]\)（\(k>1\)）
做法
定义1：对于每个人，他知道的信息是前面手里有牌的人的牌的数字（记为集合\(P\)），以及这个人及后面的人手里的牌的数字集合（记为集合\(R\)）。
定义2：对于一个集合\(S\)，令\(\max S\)为集合内的最大元素，特殊的\(S=-\infty\)，则\(\max S=0\)；令\(\min S\)为集合内的最小元素，特殊的\(S=\empty\)，则\(\min S=+\infty\)。
大体的策略为，根据场上所剩人数，以及\(\max P\)与\(\min R\)，考虑是否拿走\(\max P\)，或者翻开。
结论1：若\(\min R>\max P\)，则翻开。
证明显然
若\(\min R<\max P\)，翻开，则可能面临这张牌特别小，或者这张牌很大但可能会被后面的人换走；选择操作二，则直接获得\(\max P\)的收益。
在阐述我们的结论前，先给出一些定义。
定义3：对于未离场的人，手里的牌的相对大小，称为这些人的排位。
定义4：若经过一个人的决策，前面在场的人的排位发生变化，或者\(\min R>\max P\)，则称这次决策为关键决策。
接下来，证明一个跟结论1对立的，很强的结论。
结论2：若\(\min R<\max P\)，会换掉\(\max P\)带走。
证明：
考虑对从后往前的人的决策施归纳，假设当前的人之后的每个人都会按结论1和结论2操作（边界情况易证）。
当前这个人面临，\(\min R<\max P\)。
反证法，假设我们翻开这张牌，最终的收益会大于\(\max P\)。
有两种情况，（1）"这张牌大于\(\max P\)"（2）"这张牌小于\(\max P\)"
先证明（2）
（2）"这张牌小于\(\max P\)"：
引理1：若目前\(\min R<\max P\)，对于当前的\(\max P_{nw}\)，在下一个关键决策后，\(\max P_{nxt}<\max P_{nw}\)。
证明引理1，在关键决策前，由于均满足\(\max P<\min R\)，且排位关系没有发生变化，每次我们都在换同一个人的牌。
若这次关键决策，是由排位发生变化触发的，那么当前的人手里的牌小于\(P\)中的次大值，那么\(\max P_{nxt}\)等于原\(P\)的次大值，显然满足\(\max P_{nxt}<\max P_{nw}\)。
若这次关键决策，是由\(\max P<\min R\)触发的，原本满足\(\max P>\min R\)，那么这个人手里的牌恰好是\(\min R\)（否则不会改变不等式关系），因为每次都在换同一个人牌，现在的\(\max P_{nxt}\)等于\(\max \{P_{nw}-\{\max P_{nw}\}+\min R_{nw}\}<\max P_{nw}\)。
引理1得证。
引理2：若目前\(\min R<\max P\)，必然存在下一个关键决策。
证明引理2，考虑反证，假设之后排位一直不会发生改变，由于此时\(\min R<\max P\)，则\(P\neq \empty\)，最后一个人操作后，\(R=\empty\)，则\(\min R'=+\infty>\max P\)，这是一次关键决策。
引理2得证。
这张牌小于\(\max P\)，如果想获得大于\(\max P\)的收益，那么必定得等某一时刻\(\max P'=\)这张牌，然后在某次交换后，这个人手里的牌变大，但根据引理1，\(P\)集合内的最大值会在关键决策后严格变小，再根据引理2，容易知道最终这个人手里的牌不会变大。
故无论如何，这个人的收益会小于\(\max P\)，与假设矛盾。
再证明（1）
（1）"这张牌大于\(\max P\)"
这张牌成为\(\max P\)，下次关键决策后，\(\max P_{nxt}<\max P_{nw}\)，这张牌也会被换走。
故无论如何，这个人的收益会小于\(\max P\)，与假设矛盾。
得证。
根据结论1与结论2，最终留下来的人均为后缀
结论3：对于一个给定的\(n\)阶排列，一个数最终保留下来当且仅当其为后缀最小值。
证明：
首先在一个人操作后，其手里那张牌必定会在场上。
引理：假设一个数\(v\)不为后缀最小值，令其位置为\(x\)，那么第\(x+1\)个人会将其替换。
证明引理，考虑对位置从小到大施归纳，
因为\(v\)不为后缀最小值，显然第\(x+1\)个人会选择带走\(\max P\)
我们假设当前\(\max P\neq v\)，即\(\max P>v\)，显然\(\max P\)不为后缀最小值，根据归纳，其已被删除，与假设矛盾。
引理得证
那么现在只需要证明任意后缀最小值\(x\)不会被删除，一个数字被删除，当且仅当其成为\(\max P\)，当\(x\)成为\(\max P\)，由于其为后缀最小值，此时\(\min R>\max P\)，后面的人会选择翻开牌而不是替换掉\(x\)。
得证。
那么\(E(p)=E(后缀最小值个数)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i}\)。
\(S_0(x)=H(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}(\sum\limits_{j=1}^i \frac{1}{j})x^i=\sum\limits_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j}\frac{x^j}{1-x}=\frac{-ln(1-x)}{1-x}\)
那么\(S_k(x)=S_{k-1}\cdot \frac{1}{1-x}=\frac{-ln(1-x)}{(1-x)^{k+1}}\)
如何快速计算\(S_k(x)\)的某一项呢？
\((S_k[n]x^n)'=nS_k[n]x^{n-1}={n+k\choose k+1}x^{n-1}+(k+1)S_{k+1}(n-1)x^{n-1}\)
故有\(n\times S_k[n]=(k+1)S_{k+1}[n-1]+{n+k\choose k+1}\)
整理一下：\(S_{k+1}[n]=\frac{n+1}{k+1}S_k[n+1]-\frac{{n+ k+1\choose k+1}}{k+1}\)
然后只需要考虑计算调和级数了。
较小时暴力，较大时转为简单形式+收敛级数：\(\text{ln}(n)+\gamma+\frac{1}{2n}\)
其中\(\gamma\)为欧拉常数，可以通过公式计算：
