CF1190E

题意

给定\(n\)个点，以及\(m\)，每个点向原点连有一条线段，你需要画\(m\)条直线，使得每个点的线段都存在某条线段经过（若该点为原点，则每条经过原点的直线都经过这条线段），求\(m\)条直线距离原点的最小值最大是多少。
\(n,m\le 10^5\)

做法

二分答案\(r\)，那么考虑圆心为原点半径为\(r\)的圆。
不应存在有点严格在圆的内部。

容易证明，我们选取的直线与圆相切一定不劣。
考虑每个点对圆的两个切点（有可能相同）的极角\(l,r(l\le r)\)，表示存在某条直线与圆切点的极角\(\in[l,r]\)。

然后我们将问题转化为

给定\(n\)个区间\([l,r]\)，是否可以选取\(m\)个点，使得每个区间都包含至少一个点

如果这是在序列上做（注意该题的区间是在环上的），是存在经典的贪心：

选取右端点最小的一个区间，选择右端点，除去包含该点的区间，反复操作知道不存在区间。

而在环上，是不存在右端点最小的区间的（不存在偏序关系）。

引理：存在最优解，使得每个点都位于某个区间的右端点。

证明：
对于一种选点的方式，可以将每个点从所在位置向右移，知道位于某个区间的右端点，显然这并不会使某个原来有点的区间现在无点。

根据引理，可以枚举某个选了右端点的区间，然后以这个右端点作为数轴上\(0\)点，以右端点的大小定义偏序关系（特殊的，钦定该区间作为第一个区间），从而可以进行序列上的贪心，这样复杂度是\(O(n^2logn)\)的。

考虑破环成链，按右端点排序，再将每个区间复制一遍，左右端点增加\(2\pi\)，注意这里是按右端点定义偏序关系，所以开始的区间要保证右端点\(\in[0,2\pi)\)。（在实际代码中，可以忽略精度，取\([0,2\pi]\)）

我们枚举某个区间\(\in[1,n]\)，其右端点选了点，然后便是\([i,i+n)\)作为序列来做贪心。

我们破环成链，虽然没有严格满足题意中的关系：可能有两点重合，但破环成链后这两点不为同一点。
但在右端点相同，且选了该点作为第一个点时，取这类区间的第一个区间，是包含了这个解的。

这样可以做到\(O(n^2)\)。

注意到若我们已知选取了区间\(i\)的右端点，下一个贪心选取的区间\(j(i<j)\)是确定的，故可以通过双指针的方式\(O(n)\)确定下一个区间。再通过倍增得到选取区间\(i\)后，再选\(2^k\)个点所在的区间。
可以在\(O(nlogn)-O(nlogn)\)的复杂度内，检查\(\forall i\in[1,n]\)作为第一个区间的合法性。

总复杂度\(O(nlognlogV)\)。