Codeforces Round #705 (Div. 2)

E

结论1：若\(l\)与\(r\)最高位不相同，则答案为\(11\cdots11\)

证明显然

结论2：若\(l\)与\(r\)最高位相同，\(r\)为奇数，答案为\(r\)。

证明：
归纳，边界条件为\(l=r\)或\(l=r-1\)，显然答案为\(r\)，
考虑证明\([l,r+2]\)的答案为\(r+2\)。
答案由三部分组成：（1）右界为\(r+2\)（2）右界为\(r+1\)（3）右界\(\in [l,r]\)
通过归纳，第三部分答案为\(r\)；
若第一组\(l\le r+1\)，由于经过了\([r,r+1]\)，这部分\(\text{xor}=1\)，所以答案最多比第三部分多\(1\)，即\(\le r+1\)，故第一部分最大答案为\(r+2\)；
最后考虑第二部分，假设其答案大于\(r+2\)：
那么必定存在某位\(r+2\)中为\(0\)的，再答案中变成了\(1\)，
其必定不是个位，因为\(r+2\)中个位为\(1\)，考虑离\(r+1\)最近的该位为\(1\)的数\(x\)，\(x\)必定为奇数，而\(r+1\)为偶数，故\([x,r+1]\)这段的长度为偶数，
容易证明这一位为\(1\)，到前一个这一位为\(1\)的数间的距离，必定为奇数（相邻均为\(1\)显然距离为\(1\)，否则考虑跨过一段该位为\(0\)的段，由于该位不为个位，那么这一段有偶数个数），
所以一旦该位变成了\(1\)，因为这段区间经过了偶数个数，且这段区间内的数最高位均为\(1\)（\(l,r+2\)最高位为\(1\)），所以最高位异或和就变成了\(0\)，所以右界为\(r+1\)的区间异或和均不会大于\(r+2\)。
得证。

结论3：若\(l\)与\(r\)最高位相同，\(r\)为偶数，若\(l\le r-2\)，则答案为\(r+1\)，否则答案为\(r\)。

证明：
根据结论2容易得到答案不会超过\(r+1\)
若\(l=r-1\)或\(r\)，显然答案为\(r\)；否则取\([r-2,r]\)，容易证明取到上界\(r+1\)。

F

可以看到行与列是独立的，单独考虑\(n\)行的情况。

首先，我们判断\(m\)个数是否相等，可以通过\(\le 3\)次询问来达到

It's enough to check if
[1,y]=[y+1,2y]
[1,y]=[y+2,2y+1]
either x is odd, or [1,x/2]=[x/2+1,x]

考虑将\(n\)分解成\(\prod\limits_{i=1}^m p_i^{k_i}\)，其计算次数为\(\sum\limits_{i=1}^m k_i(1+[p_i\ge 3]+[p_i\ge 5])\)

具体而言，找到最小的\(r(r|n)\)，满足可以分成\(n/r\)个高为\(r\)，宽为\(m\)的相同块
每次考虑\(r\)的一个质因子\(p\)，看能否将\(r\)除掉这个\(p\)，check次数为判断\(p\)个数是否相等

显然，\(n=2^a3^b5^c\)会达到最坏结果：\(a+2b+3c\)。

可将问题转化为：

满足\(a+b\log_2(3)+c\log_2(5) \leq \log_2(N)\)且\(a,b,c\ge 0\)
最大化\(a+2b+3c\)
显然\(c=\log_2(N)/\log_2(5)\)时取最大值，则最坏结果为\(3\log_2(N)/\log_2(5)\)，约为\(1.3\log_2(N)\)。

总查询次数为\(\le 2.6\log_2(N)\)