CF1205D

题意

给定\(n\)及一棵树，要求构造一组树的边权，满足
（1）边权\(0\le x\le 10^6\)
（2）\(\{1,2,3,\cdots,\lfloor \frac{2n^2}{9} \rfloor\}\subseteq\{\sum\limits_{i,j}dist(i,j)\}\)。

做法

首先，若给定序列\(\{0<a_1<a_2\cdots<a_{n-1}\}\)，可以很容易做到使每个点到根的距离分别为\(\{a_i\}\)，基于此开始以下做法。

令\(c\)为树的重心，取其为树根，令\(s_1,s_2,\cdots,s_k\)为他的子树大小（有\(s_k\le \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\)）。

我们将子树分成两组，每组的大小\(\ge \left\lceil\frac{n-1}{3}\right\rceil\)

是可以证明存在这种方案的
当存在至少\(4\)棵子树时，一定存在某两个子树和\(\le \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\)，将其合并。
当剩下三组时，较大的那一组显然\(\ge \left\lceil\frac{n-1}{3}\right\rceil\)，将较小的两组合并成一组。
容易证明只有当\(n=2\)时会出现不合法的情况。
而你可以轻松地看到\(n=2\)时，题目相当于没有任何限制。

假设第一组有\(a\)个节点，第二点有\(b\)个节点（\(a+b=n-1\)）
将第一组的节点到根分配\(1,2,\cdots,a\)，第二组的节点到根分配\((a+1),2(a+1),\cdots,b(a+1)\)，那么至少可以得到\([1,(a+1)(b+1)-1]\)这些值的路径。

我们来证明这\(\ge \lfloor \frac{2n^2}{9} \rfloor\)

证明：
\(a\)取\(\frac{n-1}{3}\)时\((a+1)(b+1)-1\)达到最小的情况
\((a + 1) (b + 1) -1 \ge (\frac{n + 2 }{3}) (\frac{2n + 1}{3}) - 1 = \frac{2n ^ 2 + 5n + 3}{9} - 1 \ge \frac{2n ^ 2}{9}\)对于\(n>1\)时成立。
而你可以轻松地看到\(n=1\)时，题目相当于没有任何限制。