CF1494F

题外话

貌似我是第二个A此题的人/se/se

题意

给定\(n\)个点\(m\)条边的连通无向图，你可以任选一点开始游戏，游戏有两个阶段，第一个阶段在经过一条边后这条边消失，第二阶段在经过的第二条边、第四条边、...消失
从第一阶段开始，可以任意时刻开启第二阶段，注意：第二阶段无法返回第一阶段
要求使得所有边均消失，输出方案
\(n,m\le 3000\)

简要阐述

由于我还不会证明此做法的正确性，暂且说一说简略步骤，等官方题解出了再补个证明

单独考虑第一阶段，显然是走了个欧拉路径（回路）
单独考虑第二阶段，是走了一个菊花图，除菊花图外无法使任意图的边全部消失

考虑不经历第二阶段，那么对全图求个欧拉路径（回路）
考虑经过第二阶段，枚举一个点\(t\)，作为欧拉路径（回路）的终点，判断除其邻点外是否有点度数为奇数

• 若仅有一个，令其为\(s\)，将\(t\)的邻点度数为奇数的提出来构成菊花图，然后对\((s,t)\)为起点与终点跑欧拉路径
• 若没有，枚举\(t\)的一个度数为奇数的邻点\(s\)作为欧拉路径的起点，其他度数为奇数的提出来构成菊花图，然后对\((s,t)\)为起点与终点跑欧拉路径

做法

题解出了，证明其实也挺简单的

结论：第二阶段，为一个菊花图。

证明：
考虑路径的最后一条边必定删除，假设我们的方向为\(v\rightarrow u\)
那么回溯这条边，现在处于\(v\)点，仅剩边\((u,v)\)，那么再往前倒一步，必定是\(u\rightarrow v\)
回溯后现在处于\(u\)点，仅剩边\((u,v)\)，考虑上一步会是\(?\rightarrow u\)，然后删除了边\((?,u)\)
不断回溯，复原出来的图始终为菊花图。