CF1168E

题意

给定\(K\)及长度为\(2^K\)的序列\(\{b_i\}\)，找到两个\(0\sim 2^K-1\)的排列，是的按位异或后得到序列\(\{b_i\}\)或报告不存在。
\(K\le 12,0\le b_i\le 2^K-1\)

做法

若\(\bigoplus\limits_{i=0}^{2^K-1}b_i\neq 0\)，显然无解。

定义：令\(p_i\oplus q_i=a_i\)。

考虑初始化两个排列为\(p_i=q_i=i\)。
下面通过构造，证明可以实现任选两个位置\(i,j\)，使得\(a_i\oplus x\rightarrow a_i,a_j\oplus x\rightarrow a_j\)。

先令\(a_i=a_i\oplus x,a_j=a_j\oplus x\)，但现在并不满足\(a_i\)的定义。

定义\(\text{fix(i,j)}\)为修正\(p_i,q_i,p_j,q_j\)使得满足\(p_i\oplus q_i=a_i\)与\(q_j\oplus q_j=a_j\)。

在修正过程中，我们始终要求\(p_i\oplus q_i\oplus a_i=p_j\oplus q_j\oplus a_j\)，显然初始时是满足此条件的。

对于修正，先找到\(k\)，使得\(p_k\oplus q_i=a_i\)，由于序列\(\{p\}\)是一个排列，所以一定能找到。

• 若\(k=i\)，已经满足条件，修正完毕。
• 若\(k=j\)，那么将\((p_i,q_i,a_i),(p_j,q_j,a_j)\)修正为\((p_j,q_i,a_i),(p_i,q_j,a_j)\)，满足条件，修正完毕
• 否则
  \((p_k,q_k,a_k)\)
  \((p_i,q_i,a_i)\)
  \((p_j,q_j,a_j)\)
  将其修正为：
  \((p_i,q_j,a_k)\)
  \((p_k,q_i,a_i)\)
  \((p_j,q_k,a_j)\)
  现在\(i\)位置已满足\(a\)的定义，递归进行\(\text{fix(k,j)}\)操作。

我们下面证明这样修正的复杂度，是\(O(2^K)\)

证明：
考虑修正的过程，是\(\text{fix(a,j)}\rightarrow \text{fix(b,j)}\rightarrow \cdots\)
且在对应的三元组中，有部分位置是常数：\((p_i,?,?)(p_j,?,a_j)\)
我们下面证明，对于\(\text{fix(?,j)}\)的第一维，每个位置最多来一次。
假设某个时刻，得到了这样一个状态\(\text{fix(y,j)}\)
\((p_k,q_k,a_k)\)
\((p_i,q_x,a_y)\)（1）
\((p_j,q_y,a_j)\)（2）
（注意，我们暂时假设没有位置被重复遍历，所以那个（1）的\(a\)下标与（2）\(的q\)下标相同）
交换一次变成\(\text{fix(k,j)}\)
\((a_i,q_y,a_k)\)
\((p_k,q_x,a_y)\)
\((p_j,q_k,a_j)\)
在进行若干次操作后，来到状态\(\text{fix(n,j)}\)
\((p_k,q_x,a_y)\)
\((p_i,?,a_n)\)
\((p_j,q_n,a_j)\)
交换一次变成\(\text{fix(y,j)}\)
\((p_i,q_n,a_y)\)（3）
\((p_j,q_x,a_j)\)（4）
由（1）（2）得到\((p_i\oplus q_x\oplus a_y)\oplus (p_j\oplus q_y\oplus a_j)=0\)
由（3）（4）得到\((p_i\oplus q_n\oplus a_y)\oplus (p_j\oplus q_x\oplus q_j)=0\)
稍加化简，得到\(q_y=q_n\)，由于\(\{q\}\)为排列，则\(y=n\)，与事实矛盾。
看到这里，或许你会跟我有一样的感觉，就是如果是\(\text{fix(i,j)}\)重复遍历了会怎么样，那我们继续？
\((p_k,q_k,a_k)\)
\((p_i,q_i,a_i)\)
\((p_j,q_j,a_j)\)
变成
\((p_i,q_j,a_k)\)
\((p_k,q_i,a_i)\)（1）
\((p_j,q_k,a_j)\)（2）
经过若干次，到达这样一个状态
\((p_k,q_i,a_i)\)
\((p_i,?,a_n)\)
\((p_j,q_n,a_j)\)
交换变成
\((p_i,q_n,a_i)\)（3）
\((p_k,?,a_n)\)
\((p_j,q_i,a_j)\)（4）
然后这样问题出现了，由于\(\{q\}\)是个排列，显然得到\(n=j\)，但这与事实矛盾。

最多进行\(O(2^K)\)次将两个位置\(i,j\)的\(a_i,a_j\)同时异或上\(x\)，便可以得到\(\{b\}\)
所以总复杂度为\(O(4^K)\)。