February Challenge 2021 Division 1

Team Name（2.5）
Prime Game（2.6）
XOR Sums（2.7）
Another Tree with Number Theory（2.12）
Multiple Games（2.7）
Cell Shell（2.13）
Bash Matrix（2.11）
Dream and the Multiverse
Cut the Cake

分块题没做出来，被打爆了...

Prime Game

这题直接打个表就出了，下面说一下证明

令\(A\)为前\(Y+1\)个素数的乘积

引理1：两个不同的\(A\)的倍数的差，至少有\(Y+1\)个不同的质因子。

显然

引理2：任意整数模\(A\)，最多有\(Y\)个不同的质因子。

显然

引理3：从整除状态，只能到达不可整除状态

证明：
假设从一个整除状态进入另一个整除状态，由引理1，他们的差至少有\(Y+1\)个质因子，但题目要求减去的数至多有\(Y\)个质因子。

引理4：从不可整除状态，可到达整除状态。

证明：
由引理2，减去\(N\% A\)是一个有效的移动，将变成\(A\)的倍数。

推论：若\(N\)不可分割，则必胜，否则必败

由引理3、引理4易证

现在只需要检查\(X!\)是否被\(A\)整除即可，可以通过\([1,X]\)的质数个数求得。