KEYENCE Programming Contest 2021

D

对于一个序列，相同的对数有\(2{2^{N-1}\choose 2}\)，不同的对数有\((2^{N-1})^2\)
假设选了\(len\)个序列，那么应该满足:

\[\begin{aligned} len\cdot 2{2^{N-1}\choose 2}=n\cdot {2^N\choose 2}\\ len\cdot (2^{N-1})^2=m\cdot {2^N\choose 2} \end{aligned}\]

通过移项可得：\(n:m=2^{N-1}-1:2^{N-1}\)

将\(n=2^{N-1}-1\)或\(m=2^{N-1}\)带入上式，会得到\(len=2^{N}-1\)，故这是\(len\)的下界（同时也说明\(2^{N}-1|len\)）

我们通过构造一种方式，证明答案可以为\(2^{N}-1\)

第\(i\)个序列（\(i=1\sim 2^N-1\)）
在\(j\)位置上（\(j=0\sim 2^N-1\)），若\(\text{popcount} (i\And j)\)为偶数则填'A'，为奇数则填'B'
对于任意\(N\)长度的二进制，\(i\)仅缺失了\(0\)，故容易证明这个构造满足\(n=2^{N-1}-1\)，\(m=2^{N-1}\)

E

snuke在当前轮直接选取，那么状态会非常不好记录
我们保留snuke在之前轮，选择放弃暂时不选的次数，然后等蚂蚁走到这来了再选
虽然这个跟原游戏不同，但显然其不会优于最优解，也包含最优解

令\(f_{l,r,k}\)为\((l,r)\)全部被选了，snuke还可以选\(k\)次的最优解

两种转移方式（填表法）：

• 满足\(k>0\)，那么snuke可以选择\(l\)或\(r\)，则用\(f_{l-1,r,k-1}+a_{l}\)或\(f_{l,r+1,k-1}+a_{r}\)转移
• 目前snuke不选择，则对手选择
  那么用\(f_{l-1,r,k+1}\)或\(f_{l,r+1,k+1}\)转移（按照题意，这里的转移是固定的，取\(a_l,a_r\)中较大的一个）

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F

感觉讲起来比较麻烦，就不写题解了...
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