WC2020有根树
题意
给定一棵包含 \(n\) 个结点的有根树，\(1\) 号点为根结点。
对于一个结点集合 \(S\)，在 \(S\) 中的结点 \(u\)，定义 \(w_u\) 的值为 \(u\) 的子树中（包括 \(u\) 本身）被包含在集合 \(S\) 内的结点数，对于不在 \(S\) 中的结点，\(w_u=0\)。
你选择一个包含根结点的连通块 \(C\)。记 \(a\) 表示连通块 \(C\) 中被包含在集合 \(S\) 内的结点数，\(b\) 表示不在连通块 \(C\) 中的结点的 \(w\) 值最大值，若不存在不在 \(C\) 中的结点，则 \(b=0\)，需要最小化 \(max(a,b)\)。
\(q\) 次操作，每次会令集合 \(S\) 加入或删除一个结点，请你对每次操作后的集合 \(S\) 给出 \(max(a,b)\) 的最小值。
\(n\le 5\times 10^5,q\le 10^6\)
提醒
把\(O(nlog^2n)\)及\(O(nlogn)\)（默认\(n,q\)同阶）的代码放到这里了：Code
\(O(nlog^2n)\)：A1.cpp；\(O(nlogn)\)：A2.cpp
如果在对下面分析有疑惑，必要时可以结合代码理解
做法
定义1：令\(S\)为题意中加入的点集，令\(A\)为连通块包含的点集，令\(B\)为连通块不包含的点集。
简单分析
首先不要被这题的树迷惑了
我们肯定把较大的点往\(A\)里选，那么连通块性质显然是成立的
树的部分在于，我们动态加点删点，如何在\(\{w_i\}\)变化的同时维护\(A,B\)
结论1：存在最优解满足：\(\min\limits_{x\in A}w_x\ge \max\limits_{x\in B}w_x\)（条件1）。
证明：
考虑目前\(\min\limits_{x\in A}w_x< \max\limits_{x\in B}w_x\)
我们将\(A\)内\(w\)最小的点，移到\(B\)内，显然答案不会变劣
通过简单分析与结论1，为方便下文叙述，我们将\(\{i|i\in S\}\)看成一个\(w\)降序排列的序列
定义2：对于任意集合\(T\)，称\(T\)中\(w\)最大的为\(T\)首，\(w\)最小的为\(T\)尾。
结论2：存在唯一的最优解在满足条件1的情况下满足：\(\min\limits_{x\in A}w_x\ge|A|\ge \max\limits_{x\in B}w_x\)。
证明：
\(\text{(i)}\)我们先证明存在最优解满足该条件
在满足条件1的情况下
若\(|A|>\min\limits_{x\in A}w_x\)，将\(A\)尾移到\(B\)首
若\(\max\limits_{x\in B}w_x>|A|\)，将\(B\)首移到\(A\)尾
唯一需要考虑的情况在，是否通过移动一个元素，\(|A|\)在\(|A|>\min\limits_{x\in A}w_x\)与\(\max\limits_{x\in B}w_x>|A|\)横跳
将\(A\)尾移到\(B\)首，\(|A|-1\ge \min\limits_{x\in A}w_x=\max\limits_{x\in B'}w_x\)（令\(B'\)为移动后的\(B\)，下文同理）
将\(B\)首移到\(A\)尾同理
\(\text{(ii)}\)再证明存在唯一
顺着上面的思路
若满足\(\min\limits_{x\in A}w_x\ge|A|\ge \max\limits_{x\in B}w_x\)
将\(A\)尾移到\(B\)首
\(|A|-1<\min\limits_{x\in A}w_x=\max\limits_{x\in B'}w_x\)
将\(B\)首移到\(A\)尾同理
我们构造一个不考虑时间复杂度的算法（根据简单分析，这部分与树基本无关）
根据结论2的证明，很简单能构造出\(q=0\)的思路
考虑加点/删点
- 加点，将点随意加到\(A\)或\(B\)
- 删掉，将点从所在集合删除
然后先维护\(\min\limits_{x\in A}w_x\ge \max\limits_{x\in B}w_x\)，再分别维护\(\min\limits_{x\in A}w_x\ge|A|\)和\(|A|\ge \max\limits_{x\in B}w_x\)
通过简单的分析，移动次数是\(O(1)\)的
考虑进时间复杂度，这里需要快速维护：\(\min\limits_{x\in A}w_x\)及该元素，\(\max\limits_{x\in B}w_x\)及该元素
比较自然的想法是，重链剖分，线段树维护。
时间复杂度\(O(nlog^2n)\)。（\(n,q\)同阶）
具体的，在加入/删除元素，通过重链剖分+线段树维护所有的\(w_i\)值
线段树维护\(mi,mx\)（分别表示\(\min\limits_{x\in A}\)与\(\max\limits_{x\in B}\)）
对于线段树叶子节点\(u\)，为了代码的简洁，这里\(\notin S\)的点的\(w\)值也为子树中\(\in S\)的点数
若该点\(\in A\)，\(mi=w_u\)，否则\(mi=w_x+\infty\)
若该点\(\in B\)，\(mx=w_u\)，否则\(mx=w_x-\infty\)
若弱化此题，单纯维护\(w\)，可以用lct做到\(O(nlogn)\)，但常数也十分大，可能可以通过，但未免太浪费此题的性质了。
我们对每条重链维护至多两个pair（这条链中\(\in A\)的最大\(w\)及对应的点；\(\in B\)的最小\(w\)及对应的点）
我们不再需要知道整个点集的\(w\)值，而是所有链中的pair，其为有效点（可能成为最值）
那么在加入/删除点\(u\)时（暂时不考虑\(u\)的值），对\(u\)至根的每条重链，可以\(O(1)\)地修改其值
若之后需要得知某点的值，可以\(O(logn)\)的查询属于其子树的点数（通过树状数组实现）。
关键在于如何将\(A,B\)调整为\(A',B'\)
- 加入点\(u\)
我们之前维护的\(A,B\)满足\(\min\limits_{x\in A}w_x\ge|A|\ge \max\limits_{x\in B}w_x\)的。
考虑设阈值\(S=|A|\)（注意之后\(A\)的变化不会影响这个\(S\)）
这里对于每个\(\in B\)的元素，若其值\(>S\)，我们先将其加入\(A\)（这里加入的点数是\(O(1)\)），以满足\(\min\limits_{x\in A}w_x\ge S\ge \max\limits_{x\in B}w_x\)。
在调整完后，有\(|A|\ge S\)和\(\min\limits_{x\in A}w_x\ge S\ge \max\limits_{x\in B}w_x\)。
可以\(O(1)\)的调整使其满足\(\min\limits_{x\in A}w_x\ge |A|\ge \max\limits_{x\in B}w_x\)。
具体实现：
我们将\(A\)尾移到\(B\)头，由于\(A\)尾的值\(\ge S\)，通过链表查询值\(=S\)且\(\in A\)的点
（对于\(A,B\)均维护两个值域链表）
若存在，则移动至\(B\)头；若不存在则\(S++\)
显然当\(|A|=S\)时可以满足\(\min\limits_{x\in A}w_x\ge |A|\ge \max\limits_{x\in B}w_x\)。
显然这里\(|A|\)与\(S\)的移动都是\(O(1)\)的。 - 删除点\(u\)
与加入类似，设阈值\(S=|A|\)
对于每个\(\in A\)的元素，若其值\(<S\)，将其加入\(B\)
这里不再赘述，可以看代码理解。
至此，我们将时间复杂度优化至了\(O(nlogn)\)。
