January Challenge 2021 Division 1

这场我是先用小号打的div3，然后凑了七题才交的div1，所以下面部分时间实际上div3AC的时间
Chef and Ants（1.2）
Expected Number of SCCs（1.3）
Guess the Tiling（1.8）
Blackjack（1.2）
And-Or Game（1.3）
Cool Subsets（1.4）
Sequence Creation（1.9）
Curious Matrix（1.6）
Stack-Queue Sort
Greedy Students

达成新成就：
第一次在Challenge题上拿到了分（虽然只有可怜的4分）

挑几题讲讲

Sequence Creation

结论：对于两个长度为\(m\)的序列\(\{A\},\{B\}\)，其构成合法序列的充要条件是：\(A_i\)与\(B_i\)之间连边，不存在某个连通块有两个及以上的环

至于计数，很简单，可以自己思考一下

对于\(M_i\)，可以发现随着\(i\)的减小，右端点是不增的，故这部分移动是\(O(1)\)的
然后可以用lct维护基环树

Curious Matrix

结论：对于一个\(n\times n\)的矩阵满足题目要求，充要条件是：所有\(2\times 2\)的子矩阵行列式为\(p\)的倍数

证明显然

令\(a_{1,1}=key\)，\(x_i=a_{1,i}(i\neq 1)\)，\(y_i=a_{i,1}(i\neq 1)\)
很容易发现\(a_{i,j}=x_j\cdot y_i\cdot key^{-1}(i\ge 2,j\ge 2)\)

很容易想到并查集维护

先考虑\(O(n^2logn)\)的方法（\(logn\)是并查集的因子），容易用线段树实现\(O(nlog^2n)\)

这里的并查集与之前我写过的均不同，思考了将近一天，最后在与emofunc神仙交流的时候突然迸发出的灵感
我们不需要维护所有点的值，如果要维护的话，需要维护\(x_i\)与\(x_i\cdot key^{-1}\)，甚至\(x_i\cdot key\)，非常不好写，我写了将近8k，然后交上去全WA

对于一个连通块，若某个\(x_i\)是已知的，则其他\(x_j\)都可以通过其判断是否合法
对于一个连通块，若某个\(x_i,y_j\)是已知的，则\(key\)可以解出来

计数比较简单，自己思考一下吧