洛谷P6516 [QkOI#R1] Quark and Graph

题意

洛谷

做法

令\(a_i\)表示距离\(1\)最短路为\(i\)的点个数，令\(D=max\{i|a_i\neq 0\}\)
由于题目保证至少存在一种解，所以\(a_0,\cdots,a_D\)均不等于\(0\)
分成相邻层之间的边，与层内部的边，生成函数显然为：

\[\prod\limits_{i=0}^{D-1} ((x+1)^{a_i}-1)^{a_{i+1}}\cdot \prod\limits_{i=0}^D(x+1)^{a_i*(a_i-1)/2} \]

我们的重点放在第一部分
这里由于\(\sum\limits_{i=0}^{D-1}a_i\cdot a_{i+1}\le 2\times 10^5\)，可以直接做到\(O(Llog^2L)\)（其中\(L=\sum\limits_{i=0}^{D-1}a_i\cdot a_{i+1}\)）
但到这一步就不做了，未免这题显得太sb了，我们继续做下去

\(F(x)=\prod\limits_{i=0}^{D-1} ((x+1)^{a_i}-1)^{a_{i+1}}=\text{exp}(\sum\limits_{i=0}^{D-1}a_{i+1}\text{ln}((x+1)^{a_i}-1))\)

这里\(\text{ln}\)括号内的常数项不为\(1\)，比较不好搞
我们转换一下：
\(G(x)=F(x-1)=(-1)^{\sum\limits_{i=1}^D a_i}\text{exp}(\sum\limits_{i=0}^{D-1}a_{i+1}\text{ln}(1-x^{a_i}))=(-1)^{\sum\limits_{i=1}^D a_i}\text{exp}(\sum\limits_{i=0}^{D-1}a_{i+1}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x^{ka_i}}{k}))\)

由于\(a_i\le n\)，\(\text{exp}\)括号内的这部分可以\(O(nlogn)\)手动展开，然后求个exp

之后\(F(x)=G(x+1)\)是个比较套路的东西

细节：由于我们需要通过\(G(x)\)还原出\(F(x)\)来，故需要得到\(G(x)~mod~x^{L+1}\)（我本来写的\(mod~x^{m+1}\)，WA到自闭）

时间复杂度\(O(mlogm+LlogL)\)，由于要求exp的缘故，可能跑不过\(O(mlogm+Llog^2L)\)