AGC034F
题意
做法
显然从\(0\)到\(i\)的期望步数等价于从\(i\)到\(0\)的期望步数
定义：令\(p_i\)表示出现\(i\)的概率，\(f_i\)表示\(i\)到\(0\)的期望步数
用生成函数表示，异或卷积定义乘法，大概是一个这样的形式
\(F(x)P(x)=F(x)-I(x)\)（\(I(x)=\sum\limits\limits_{i=1}^{2^n-1} x^i\)）
关键就在于，\(F(x)P(x)\)的常数项未表示出来
考虑\(\sum\limits p_i=1\)，那么\(F(x)\)的系数和在乘上\(P(x)\)后是不变的
由于\([x^i]F(x)P(x)=f_i-1(i\neq 0)\)，故容易得到\([x^0]F(x)P(x)=2^n-1\)
那么能得到：
\(F(x)P(x)=F(x)+(2^n-1)-I(x)\)
可能你一拍脑子，会直接\(F(x)=\dfrac{(2^n-1)-I(x)}{P(x)-1}\)，然后\(FWT(P(x)-1)\)之后按位求逆元
这样做是不对的
结论1：\(FWT(P(x)-1)_i=0(i=0),FWT(P(x)-1)_i\neq 0(i\neq 0)\)，\(FWT(2^n-1-I(x))\)也满足此性质
证明：
对于多项式\(G(x)\)，令\(S\)为\(G(x)\)系数之和
由FWT的性质可得，\(FWT(G(x))_0=S\)，\(FWT(G(x))_i<S(i\neq 0)\)
\(G(x)=P(x)-1\)的系数和为\(0\)，\(G(x)=2^n-1-I(x)\)同理
所以我们这里的\(P(x)-1\)是没有逆元的
但是我们知道：\((P(x)-1)F(x)=2^n-1-I(x)\)
也就是\(\text{FWT}(P(x)-1)\text{FWT}(F(x))=\text{FWT}(2^n-1-I(x))\)
由于\(\text{FWT}(P(x)-1)\)与\(\text{FWT}(2^n-1-I(x))\)只有常数项为\(0\)，所以\(\text{FWT}(F(x)_i(i\neq 0)\)是可以通过求逆元得出的
结论2：\(FWT(F(x))\)的系数之和为\(0\)
证明：
对于多项式\(G(x)\)，若常数项为\(0\)，根据FWT的性质易得\(FWT(F(x))\)的系数之和为\(0\)
于是在我们得到其他位置，可以很容易得到\(\text{FWT}(F(x)_0\)
