一类求斯坦纳树大小的问题

题意

给定一棵\(n\)阶树，给定一个长度为\(n\)的序列\(\{a_i\}\)，\(a_i\)表示点\(i\)的权值
\(q\)次询问，每次给定\(l,r\)，求点权在\([l,r]\)间的点集构成的斯坦纳树大小

\(n\le 10^5,q\le 5\times 10^5,1\le a_i,l,r\le 10^9\)

前置

通过简单的离散化，问题可以描述成：

给定一棵\(n\)阶树
\(q\)次询问，每次给定\(l,r\)，求集合\(\{x|x\in[l,r]\}x\in[l,r]\)的斯坦纳树大小

钦定\(1\)为树根
以下假定大家都会\(O(nlogn)\)预处理，\(O(1)\)查询\(\{x|x\in[l,r]\}x\in[l,r]\)的lca

定义：令\(f(S)\)为集合\(S\)的斯坦纳树大小；令\(lca(S)\)为集合\(S\)的lca；令\(dep(x)\)为点\(x\)到根的路径长度

那么\(f(S)=f(S+\{root\})-dep(lca(S))\)
以下考虑如何求\(f(S+\{root\})\)

做法一

将询问离线，挂到\(r\)上

考虑从\(1\sim n\)加入点，维护一个这样的东西：

每个点会至多属于一个点（可能不属于任何点）
每个点到根有一段属于自己的路径，当加入点\(i\)，\(i\)到根的路径全部属于自己
那么当加入点\(i\)，查询\([l,r](r=i)\)，就是查询点\(j(j \in[l,r])\)属于\(j\)的点之和

这个可以用lct与树状数组来维护

做法二

考虑\(f(S+\{root\})\)中的点，一个点存在贡献当且仅当子树内有\([l,r]\)中的点
将子树内的点排序\(\{a_1,a_2,\cdots,a_m\}(a_i<a_{i+1})\)
为了方便，在子树两端添加\(-\infty,\infty\)：\(\{a_0=-inf,a_1,a_3\cdots,a_m,a_{m+1}=\infty\}\)
一个点没有贡献当且仅当：\(\exists x\in[0,m]\)，\(s.t.~a_x<l,a_{x+1}>r\)

容易发现至多存在一个\(x\)满足此条件
我们将\((a_x,a_{x+1})\)看作点，求出所有子树的可重点集
那么我们将问题转化为了数点问题

但可重点集大小是\(O(n^2)\)的，怎么解决呢？
结论：点集的大小是\(O(nlogn)\)

利用启发式合并的过程容易证明

我们考虑用线段树合并维护点集，这里用到了一个小trick：
令\([l,r]\)为线段树中点\(nod\)的区间，令\(\{a_1,a_2,\cdots,a_m\}\)为\([l,r]\)中的有效点集
用\(tag_{nod}\)表示线段树中点\(nod\)中的有效点集中相邻点对出现了\(tag_{nod}\)次
在下传标记的同时，将\(nod\)左儿子的最大值与右儿子的最小值组成的点加入可重点集，其出现的次数为\(tag_{nod}\)

以上两种做法的时间复杂度均为\(O(nlog^2n+qlogn)\)

加强原问题

给定一棵\(n\)阶树，给定一个长度为\(n\)的序列\(\{a_i\}\)，\(a_i\)表示点\(i\)的权值
给定\(m\)，有\(m\)条路径，每条路径描述成\((x,y)\)，表示\(x\)到\(y\)的最短路径
给定\(q\)，\(q\)次查询，每次给定\((l,r)\)，求\([l,r]\)这些路径的并的点集和

这题仍然可以用做法一实现，但无法用做法二
下面介绍另一种解决的方法

考虑分治，对于\([l,r]\)，解决\(l\le l'\le mid<r'\le r\)的\((l',r')\)的询问：
处理出\([l,r]\)路径有关的节点，建虚树
扫描\(mid+1\sim r\)，对虚树上路径及点记录最早被覆盖的位置，用并查集优化
将询问按\(l'\)降序排列
扫描\(i=mid\sim l\)，对于当前路径\(i\)，若其在虚树中的路径未被\(i<j(i<j\le mid)\)覆盖，但被\(j(mid+1\le j\le r)\)覆盖，则将贡献移至\(i\)，同样用并查集优化

\(O(mlog^2n+qlogn)\)