CF1461F

题意

给定长度为\(n\)的整数序列\(\{a_i\}(a_i\in[0,9])\)，给定运算集合，保证其为\(\{+,-,*\}\)的非空子集
求一种方案使得在任意\(i,i+1(i<n)\)间插入给定运算集合中的元素，使得运算结果最大

\(n\in[1,10^5]\)

做法

以下考虑运算集合大小不为\(1\)的情况

对于运算集合为\(\{+,-\}\)，显然最优解只会用到\('+'\)

对于运算集合为\(\{-,*\}\)，在第一个\(0\)前放\('-'\)，其他位置放\('*'\)，正确性显然

对于运算集合为\(\{+,-,*\}\)，显然不会出现\('-'\)

以下讨论运算集合为\(\{+,*\}\)

对于出现的\(0\)，我们会在其前后放\('+'\)，故转化：

\(\{a_i\}\),满足\(\forall i\in[1,n],a_i\ge 1\)

显然对于首或尾的\(1\)，我们会在其前后放\('+'\)，故转化为：

\(\{a_i\}\)，满足\(a_1,a_n>1\)

结论1：若\(\prod\limits_{i=1}^n a_i\ge 2n\)，则全部用\('*'\)连接起来最优

证明：
假设乘积\(\ge 2n\)
若中间出现了\('+'\)，则最优解一定是这种形式
\((d_{11} * d_{12} * d_{13} * … ) + 1 + 1 + … 1 + (d_{21} * d_{22} * …) + 1 + 1 + … + (d_{k1} * d_{k2} * …)\)
其中\(k\ge 2\)
令\(a_i = d_{i1} * d_{i2} * …\)，令\(P=\prod\limits_{i=1}^k a_i\)（\(k\ge 2,P\ge 2n\)）
我们可以证明\(\sum_{i=1}^k a_i \leq 2 + P / 2\)，那么\(\sum_{i=1}^k a_i \leq 2 + P / 2\leq 2 + P / 2 + n - k \leq P / 2 + n\)
由于\(P\ge 2n\)，则\(P/2+n\le P\)，故全部用\('*'\)最优
下面证明\(\sum_{i=1}^k a_i \leq 2 + P / 2\)
对\(k\)施归纳：
当\(k=2\)时，\(a_1 + a_2 = a_1 + \frac{P}{a_1}\)，这是对勾函数的形式，由于\(a_i\ge 2\)，故\(a_1 + \frac{P}{a_1}\leq 2 + P / 2\)
对于\(k>2\)，由于\(a_i\ge 2\)，故\(\sum_{i=1}^k a_i \leq (\sum_{i=1}^{k-2}a_i) + a_{k-1}a_{k}\)，这是\(k-1\)的形式
得证

根据结论1，我们仅需考虑\(\prod\limits_{i=1}^n a_i< 2n\)的情况
令\(f_i\)为前\(i\)个位置的最大答案（钦定\(i\)与\(i+1\)间用\('+'\)连接）
若\(a_{i+1}=1\)，我们可以只将\(f_i\)转移到\(f_{i+1}\)那里
若\(a_{i+1}>1\)，枚举\(f_i\)转移到\(f_j(j>i)\)
由于其中\(a_i\ge 2\)的个数只有\(O(logn)\)个，这个dp的时间复杂度为\(O(nlogn)\)