December Challenge 2020 Division 1
完成情况：
Even Pair Sum(12.5)
Positive Prefixes(12.5)
Hail XOR(12.5)
Calculus
String Operations(12.6)
Square Root of LCA Convolution(12.8)
Permutations
Linear Combination
Digit Matrix
Palindromic Equivalence
技不如人...爬了爬了
这场其实质量挺高的，由于Calculus心态崩了后面完全没打出水平
不知道出题人是有多**出个积分的题...
这个题的数据也出的**，一天内有原来四百多的AC到六百多...
由于没打好，就只讲讲不会做的题了
Linear Combination
首先不看互不相同的条件
选出任意一个\(a_k\neq 0\)（一般的，我们令\(k=n\)）
对于\(\sum\limits_{i=1}^n a_ix_i\equiv 0(mod~p)\)的解，相当于\(\sum\limits_{i\neq n-1}a_ix_i\equiv -a_nx_n(mod~p)\)
对于任意一组\(\{x_1,x_2,\cdots ,a_{n-1}\}(x_i\neq x_j)\)，都有且仅有一个\(x_n\)与之对应
但现在\(x_n\)可能与\(x_i(i\neq n)\)相等，我们考虑将两合并
\(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_{i-1}x_{i-1}+a_{i+1}x_{i+1}\cdots a_{n-1}x_{n-1}+(a_i+a_n)x_n\equiv 0(mod~p)\)
受这个启发：
令\(f_S\)：钦定\(\{i|i\not\in S\}\)集合缩成一个变量，系数为\(\sum\limits_{i\not\in S}a_i\)，同\(S\)中的变量的解个数
令\(T=\{i|i\not\in S\}\)
- 若\(T\)的系数不为\(0\)
则\(S\)中的变量任意选择，\(T\)都有且仅有一个\(x\)与之对应，但需减去\(S\)中存在变量与\(T\)变量相同的情况
\(f_S=p^{\underline{|S|}}-\sum\limits_{x\in S}f_{S\backslash x}\) - 若\(T\)的系数为\(0\)
\(T\)的变量如何选择并影响不了和，这个变量有\(p-|S|\)种选择；对于剩下\(S\)中的抉择，为\(f_{S\backslash x}(\forall x\in S)\)
\(f_S=(p-|S|)f_{S\backslash x}(\forall x\in S)\)
复杂度\(O(n2^n)\)
Palindromic Equivalence
考虑建图：若\(s_{l,r}\)为回文串，将\(l,r\)两点合并；若\(s_{l,r}\)为回文串且\(s_{l-1,r+1}\)不为回文串，那么\(l-1\)与\(r+\)连边
然后就相当于每个点有权值，一个独立集的权值为点权之积
求独立集权值之和
具体来说，点\(u\)若其代表了\(x\)个位置，其权值为\(f_u=2^x-1\)
结论：该图为弦图
证明：
我们来证明若对于\(i<j<k\)，满足\(i\)与\(k\)有连边，\(i\)与\(j\)有连边，则要么\(j,k\)也有连边，要么\(j,k\)是处于同一合并点
\(i,k\)有连边，\(i,j\)有连边
则\(s_{i+1,k-1},s_{i+1,j-1}\)是回文串
故\(s_{k-j+i+1,k-1}\)也为回文串；\(j,k-j+i\)处于同一合并点（\(s_j=s_{k-j+i}\)）
若\(s_{k-j+i}=s_k\)，那么\(j,k\)处于同一合并点
若\(s_{k-j+i}\neq k\)，那么\(k-j+i,k\)有连边，则\(j,k\)有连边
故很容易证明该图为弦图
我们考虑建出团树，每个团点显然最多选择一个点
令\(C_u\)表示团点\(u\)的点集，令\(T_v\)表示团点\(v\)在团树中的儿子节点
令\(none_u\)为团点\(u\)内不选择任何点，令\(chosen_{u,x}\)为团点\(u\)内选择点\(x\)
转移：
复杂度\(O(n^2)\)
