两道杂题

upd：2020.12.3

题外话

本来这篇博客只有一道题的，今天拿给神仙zxp做
他说证明很难，我说不难
他让我两个手来证这道题目，我证不动
他啪的一下就给出了问题
一个情况，另一个情况，再一个情况
我都证了，全证出来了啊
这时候我收手不证了，按照规矩我已经证完了，他也承认我讲的不清楚
这笔就放在本子上，再证下去，我脑子就废了
他啪一下站起来："你还是没讲清楚"
我大意了啊，没有闪，两分钟后就自闭了

于是我们花了一个小时的时间，把证明搞了出来

前置问题

题意：
给定两个序列\(\{a_1,a_2,\cdots,a_n\},\{b_1,b_2,\cdots ,b_m\}\)，每个序列有个指针\(it1,it2\)，初始为\(0\)
目标为\(it1=n,it2=m\)
在每个时刻，需要满足\(\sum\limits_{i=1}^{it1}a_i+\sum\limits_{i=1}^{it2}b_i\ge 0\)

令\(A_i=\sum\limits_{k=1}^i a_k,B_i=\sum\limits_{k=1}^i b_k\)
那么需要保证\(A_{it1}+B_{it2}\ge 0\)

弱化题目：假设\(A_n\)为序列\(\{A_i\}\)的最大值，\(B_m\)为序列\(\{B_i\}\)的最大值
我们每次：将\(it1\)往后移动到离其最近\(i(it1<i)\)且满足\(A_{i}>A_{it1}\)，或，将\(it2\)往后移动到离其最近\(i(it2<i)\)且满足\(B_i>B_{it2}\)
若不能移动显然无解

回到原题：你会发现这种方法只能移动到序列的最大位置
我们将两个序列倒过来，按同样的方法，若能走到最大值，则有解，否则无解
正确性显然

问题

给定一个长度为\(n\)的环序列\(\{a_i\}\)，从\(1\)出发，每次可以前往一个未到过的位置（但需保证其与到过的位置相邻）。
令\(b_i\)为前\(i\)次经过的位置\(a_j\)之和。
问\(\min\limits_{i=1}^n\{b_i\}\)最大可以是多少（\(a_i\)可以为负数）
\(n\le 10^5,|a_i|\le 10^9\)

做法

由于位置\(1\)是首先选的，我们令\(a_1=0\)，然后问题变成了每次从最左边或最右边选一个数，最大答案再加上\(a_1\)

定义：令\(pre_i=\sum\limits_{j=1}^i a_i\)，\(suf_{i}=\sum\limits_{j=i}^n a_j\)

二分答案\(Ans\)
令\(mi_i\)为从最左边选了\(i\)个数时，\(min\left\{j|存在方法从最右边选[j,n]\right\}\)
考虑从\(mi_{i-1}\)转移到\(mi_i\)

• \(a_i\ge 0\)
  初始化\(mi_i=mi_{i-1}\)
  不断左移\(mi_i\)，判断是否满足\(pre_i+suf_x\ge Ans\)（\(x=mi_i\)），若不满足则退出
• \(a_i<0\)
  初始化\(mi_i=mi_{i-1}\)
  不断右移\(mi_i\)，判断是否满足\(pre_i+suf_x\ge Ans\)（\(x=mi_i\)），若满足则退出

证明：
对于\(a_i\ge 0\)正确性显然
对于\(a_i<0\)
按上面方法到达的位置是上界
考虑证明一定能通过某种方式到达此位置
在前置问题的基础上，将序列分割讨论，容易得出正确性

可以用线段树优化移动过程