World Finals 2014 I - Sensor Network

题意

给定\(n\)个点\((x_i,y_i)\)及\(d\)，选出最大点集，两两距离不超过\(d\)

做法

先转成二分图，可以看看这篇文章

于是问题转化成了求二分图的最大独立集，等价于最小点覆盖的补集

写这篇文章具体是想讲讲König定理
König定理：在二部图中，最小点覆盖=最大匹配

proof
令最小点覆盖\(=V\)，最大匹配\(=E\)
\(V\ge E\)：一个点最多覆盖一条匹配边
我们通过如下构造，得出一组\(V=E\)的最小点覆盖
对于左边所有未在匹配内的点，我们从其出发做遍历（遍历所有边），交替走（非匹配边-匹配边），并标记所有经过的点
可以将左边未标记的点与右边标记的点作为最小点覆盖（证明如下）：
我们将上述选出来的点集称为\(P\)
（1）：\(P\)覆盖了所有边（未被覆盖的边，当且仅当左端点被标记，右端点未被标记。若其为匹配边，与交替走矛盾；若其不为匹配边，从其出发一定会遍历这条边，从而右端点被标记，与假设矛盾）
（2）：\(|P|=E\)（显然\(P\)均为匹配点，若同时存在于一条匹配边，两点要么同时被标记，要么均不被标记，故\(|P|\le E\)。由于覆盖了所有边，\(|P|\ge E\)，所有\(|P|=|E|\)）
得证

坑点：注意\(ans=1\)的情况，codeforces test 3设有卡点