CF1307G
题意
做法
令\(l_{u,v}((u,v)\in E)\)为边\((u,v)\)的边权
令\(x_{u,v}\)为对边\((u,v)\)的增量
令\(X\)为总增量限制
令\(d_i\)为一组增量序列\(\{x\}\)对图造成影响后，从\(s\)到\(i\)的最短路径
可以发现\(d_s\)是什么并不重要，我们将其写成线性规划的形式
\[\\
max(d_t-d_s)\\
\left\{\begin{array}{}
d_v\le d_u+l_{u,v}+x_{u,v}\\
\sum\limits_{(u,v)\in E}x_{u,v}\le X\\
x_{u,v}\ge 0\\
\end{array}\right.
\]
二分\(d_t-d_s\ge \lambda\)来判断答案
\[\\
min(\sum\limits_{(u,v)\in E}x_{u,v})\\
\left\{\begin{array}{}
d_v\le d_u+l_{u,v}+x_{u,v}\\
d_t-d_s\ge \lambda\\
x_{u,v}\ge 0\\
\end{array}\right.
\]
发现这个其实就是\(min(max(\lambda +d_s-d_t,0)\cdot \infty+\sum\limits_{(u,v)\in E}max(d_v-d_u-l_{u,v},0)\cdot 1)\)
于是我们对偶到最大循环费用流上
我们求网络流是流量都为整数，你可能会想为什么整数解就一定会有最优解，放心写吧，这个定理貌似就是这样的
\(s\longrightarrow t(flow:\infty,cost:\lambda)\)
\(v\longrightarrow u(flow:1,cost:-l_{u,v})((u,v)\in E)\)
不考虑第一类边，对\(t\longrightarrow s\)跑最大费用流，令流量为\(i\)时费用为\(f_i\)，则总费用为\(i\lambda+f_i\)
则最大循环费用流为\(max(i\lambda +f_i)\)，需要满足\(\le X\)，即\(\lambda\le \frac{X-f_i}{i}\)，于是我们发现不用二分了
由于题目保证没有重边，故最大流量是\(O(n)\)的，询问是枚举\(i\)即可
