AtCoder Grand Contest 049

C

结论1：假设答案为\(0\)，容易证明对于机器人\(i\)（\(A_i\le B_i\)），一定是由\(A_j>B_j(A_i<A_j)\)的机器人破坏

在进行下一步分析前，为了方便解决该问题，我们将题意中操作进行一些转化：
结论2：在不改变答案的情况下，可以将问题转化为：可以任意删除球、添加球，最小化\(max（删除球数，添加球数）\)

证明：
在原问题的基础上，显然是可以达到删除球的效果，只需要将一个球上的数字重写为非常大的数字即可
而添加球，我们的目的显然是破坏现在该机器人前面的机器人，那么可以将那个机器人的编号球重写为这个机器人的编号
而删除球与添加球中是可以相互抵消以达到效果相同操作最少，容易证明操作最少为\(max(删除球数，添加球数)\)

若不删除任何球，根据结论1，添加球数应为没有被破坏的\(A_i\le B_i\)机器人数量（这里的破坏是指被\(A_j>B_j\)破坏）
同理，若删除球，令被删除的最大编号为\(k\)（显然应满足\(A_i\le B_i\)），则应删除\(B_i-A_i+1\)个，添加的球数应为除去\(\le k\)机器人影响的情况，即转化为不删除任何球的情况

D

考虑最小的数字位置，令其为\(m\)（若有多个选择最小的一个）
可以发现可达序列通过如下方式达到

• 令最终\(m\)位置的数字为\(C\)，初始时序列为\(\{C,C,\cdots ,C\}\)
• 选择\(i<m\)，分别添加\(1,2,3,\cdots,i\)到\(a_i,a_{i-1},a_{i-2}\cdots ,a_1\)（为保证\(m\)位置为最小的，至少对\(i=m-1\)操作一次）
• 选择\(i>m\)，分别添加\(1,2,3,\cdots,n-i+1\)到\(a_i,a_{i+1},a_{i+2}\cdots ,a_n\)

对于\(i<m\)，相当于选择物品\(1,3,6,\cdots ,{m\choose 2}\)；对于\(i>m\)，相当于选择物品\(1,3,6,\cdots ,{n-m+1\choose 2}\)
由于题目对总和有限制，故有效物品个数为\(O(\sqrt{M})\)

考虑\(m\)的位置发生变化时，可以\(O(M)\)退背包
由于至少对\(i=m-1\)操作一次，由于总和的限制，仅需考虑前\(O(\sqrt{M})\)个位置

总复杂度\(O(M\sqrt{M})\)

E

篇幅过长，单独开一篇，点这里