CSP2019 树的重心

题意

给定一棵有编号树，对于每一条边，贡献为将这条边删除后分裂的两棵树重心编号之和（一棵树可能有两个重心被计算）
\(n\le 10^6\)

重心（性质）

定义0.0：对于一棵无根树，节点\(u\)的儿子为\(u\)的所有相邻节点；对于儿子\(v\)，其子树大小为设\(u\)为根时，\(v\)的子树大小；儿子的重量为子树大小。

定义0.1：对于一棵无根树，令\(mx_u\)为节点\(u\)最重的儿子子树节点个数。

定义0.2：对于一棵无根树，对于任意点\(u\)，令\(v\)为\(u\)最重的儿子。若\(mx_v>mx_u\)，则\(u\)为重心；若\(mx_v=mx_u\)，则\(u,v\)均为重心。

定义0.3：对于一棵节点个数为\(n\)的无根树，对于任意点\(u\)，若\(mx_u\le \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\)，则\(u\)为重心。

推论0.1：对于一棵无根树，选择任意点\(u\)，令\(v\)为\(u\)最重儿子。若\(mx_v<mx_u\)，则令\(u'=v\)。重复此操作，最终停留的节点为重心（若树有两个重心则会在两个间反复横跳）。

推论0.2：对于一棵无根树，\(mx_u\)最小的节点为重心。

推论0.3：对于一棵无根树，若\(u\)有多个重儿子，则\(u\)为重心。

做法（本题）

回到本题上来，将这棵无根树的重心看作根（若有两个重心则将之间的边看作根），下面的树均为有根树。

定义1.1：令\(mx_u\)为节点\(u\)最重的儿子节点，\(root_{u}\)为节点\(u\)子树的重心

结论1.1：对于非叶子节点\(u\)，\(root_u\)在\(root_{mx_u}\sim u\)路径间

根据结论1.1，对于所有非重心节点\(u\)，子树内的重心可以由重儿子转移，均摊\(O(n)\)

根据推论0.2，对于所有非重心节点\(u\)，删去\(u\)的子树，重心将会（1）不变、（2）向重心的重儿子移动（3）向重心的次重儿子移动
对于删掉重儿子子树外的子树，重心一定会不变或反复向重儿子移动。可以发现具体删掉哪个节点是不重要的，枚举删掉子树大小，均摊\(O(n)\)。
对于删掉重儿子子树内的子树，重心一定会不变或先向次重儿子移动再向重儿子移动。与上面做法类似，均摊\(O(n)\)。