杂题

题意

对于任意偶数\(n\)，一个长度为\(n\)的排列\(\{p_i\}\)，定义一次变换为：\(p'_i=p_{i/2}(i~is~even),p'_i=p_{(i+n+1)/2}(i~is~odd)\)，若经过恰好\(n\)次变换第一次返回原排列，则\(f(n)=n\)，否则为\(0\)。
给定\(N\)，求\(\sum\limits_{i=1,i~is~even}^N f(i)\)
\(N\le 10^7\)

做法

结论0：\(p'_{i}=p_{i/2(mod~n+1)}\)，或者说\(p'_{2i(mod~n+1)}=p_i\)
结论1：若经过\(k\)次变换返回原排列，则\(2^k\equiv 1(mod~n+1)\)

证明：
\(2^k\equiv 1(mod~n+1)\)等价于\(r2^k\equiv r(mod~n+1)\)

根据欧拉定理，\(2^{\phi(n+1)}\equiv 1(mod~n+1)\)，故\(k\le \phi(n+1)(k|\phi(n+1))\)，若\(n+1\)不为质数，\(\phi(n+1)<n\)，一定不合法
考虑\(n+1\)为质数的情况，此时需要验证所有\(phi(n+1)=n\)的因子\(x(x|n)\)是否全部不满足\(2^x\equiv 1(mod~n+1)\)

结论2：若存在\(x|n,x\neq n\)，满足\(2^x\equiv 1(mod~n+1)\)，令\(n=\prod\limits_{i=1}^m p_i^{k_i}\)，则存在\(y=\frac{n}{p_i}(p_i\in prime,p_i|n)\)满足\(2^y\equiv 1(mod~n+1)\)

通过线性筛将满足\(n+1\in prime\)的\(n\)的质因子找到。这部分\(O(\pi(N)logN)\)
验证每个质因子，由于\(n\le 10^7\)，最多有\(8\)个质因子。这部分\(O(8\pi(N)logN)\)