2020牛客NOIP赛前集训营-提高组（第四场）

C

有\(f_n^2=(f_{n-1}^2+f_{n-2}^1),f_{n-3}^2=(f_{n-1}^2-f_{n-2}^2)\)
令\(g_n=f_n^2\)，很自然的有：\(g_n=2g_{n-1}+2g_{n-2}-g_{n-3}\)

将递推式写成矩阵的形式\(A\)，令\(\vec{g}_n\)为\((g_n,g_{n-1},g_{n-2})^T\)，可以逆推出\(\vec{g}_0\)
把\(\vec{g_n}\)表示成\(A^n\vec{g_0}\)
将题目中的\(f(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}g(\sum\limits_{s\in T}s)\)也写成列向量的形式：\(\vec{f}(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}\vec{g}(\sum\limits_{u\in T}u)\)
\(\vec{f}(S\cup a)=\vec{f}(S)+\sum\limits_{T\subseteq S}\vec{g}(\sum\limits_{u\in T}u+a)=\vec{f}(S)+\sum\limits_{T\subseteq S}A^a\vec{g}(\sum\limits_{u\in T}u)=(I+A^a)\vec{f}(S)\)
故\(\vec{f}(S)=\prod\limits_{a\in S}(I+A^a)\)

D

结论1：若\(len_v\equiv 0~mod~len_w\)，\(vw\)的最短周期为\(len_w\)

证明显然

推论：若\(len_v\equiv 0~mod~len_w\)，\(v\)会变成：\(vw,vww,vwww,\cdots\)

结论2：若\(len_v\not\equiv 0~mod~len_w\)，\(vw\)的最短周期为\(len_v\)

证明：
显然，\(len_v\)是\(vw\)的周期，下证不存在比\(len_v\)还短的周期
假设存在\(len_x<len_v\)，\(len_x\)为\(vw\)的周期
\(len_x\ge len_w\)（\(len_w\)是\(v\)最短周期）
若\(len_v\equiv len_x~mod~len_w\)
\((len_x,len_w)\)是\(len_v\)的周期（Weak Periodicity Lemma），由于\(len_v\not\equiv 0~mod~len_w\)，故\((len_x,len_w)<len_w\)，与\(len_w\)为\(v\)最短周期矛盾
若\(len_v\not\equiv len_x~mod~len_w\)
\((len_w,(len_v-len_x)\% len_w)\)是\(len_w\)的周期（由于\(len_x\)是\(vw\)的周期，从\(v_{(len_v-len_x)\%len_w+1}\)开始的一段\(len_w\)等于\(w\)），故也是\(len_v\)的周期，其小于\(len_w\)，与\(len_w\)为\(v\)最短周期矛盾。

推论：若\(len_v\not\equiv 0~mod~len_w\)，\(v\)会变成：\(vw,vwv,vwvvw\)。即\(f_0=v,f_1=vw,f_i=f_{i-1}+f_{i-2}\)