Codeforces Global Round 11 E Xum
题意
做法一
以下均在二进制意义下进行
定义1：令\(x^1\)为\(x\)去掉最高位的数，\(x_1\)为\(x\)去掉最低的\(1\)及后面一截的数
如\(1101100^1=101100\)，\(1101100_1=1101\)
定义2：令\((x,y)\)为数\(x,y\)拼接后形成的数
定义3：令\(|x|\)为数\(x\)的位数
令给出的数为\(x\)，考虑每次去掉最高位为\(1\)的，即生成\(2^{|x|}\)
\((x,0\times |x|-1)\)：
\((x_1,0,x^1)\)：\((x,0\times |x|-1)\oplus x\)
\((x_1<<1,x)\)：\((x_1,0,x^1)+(x,0\times |x|-1)\)
\((x_1<<1,0\times |x|)\)：\((x_1<<1,x)\oplus x\)
\((x,0\times |x|)\)：\((x,0\times |x|-1)<<1\)
\(2^{|x|+1}\)：\((x_1<<1,0\times |x|)\oplus(x,0\times |x|)\)
利用\(2^{|x|+1}\)将\((x,0\times |x|-1)\)的一些高位取掉，只留下\(2^|x|\)
做法二
令\(x\)为初始给出的奇数，显然通过\(O(logn)\)次可以表示出\(nx\)
令\(e\)为最大的\(2^e<x\)
结论1：\((x,(2^ex)\oplus x)=1\)
证明：
\(2^ex=2^ex+x-2^{e+1}\)
结论2：存在\(a,b\ge 0\)，\(ax-by=1\)其中\(b\)为偶数
证明：
根据裴蜀定理一定存在\(a,b\ge 0\)，\(ax-by=1\)
若\(b\)为奇数，则将\(b\)加上\(x\)，\(a\)加上\(y\)
由于\(ax,by\ge 0,2|by\)，\(ax-by=1\)，所以\(ax\oplus by=1\)
