杂题

题意

给定\(g\)，满足\(g=f^k\)（狄利克雷卷积），求\(f\)
\(g(1)=f(1)=1\)

做法一

结论：\(f^{mod}=\epsilon\)

证明：
\(f^(mod)(1)=1\)，\(f^(mod)(i)(i>1)\)展开\(mod\)，\(mod\)整除每个单项式出现的次数

则\(f=g^{inv(k)}\)
\(O(nlognlogk)\)

做法二

将\(f^k(n)\)写成\(kf(n)+b_{k,n}\)的形式
有

\[\begin{aligned}f^{2k}(n)=(f^k*f^k)(n)=2f^k(n)+\sum\limits_{d|n,d\neq 1,d\neq n}f^k(d)f^k(n/d)\\ f^{k+1}(n)=(f^k*f)(n)=f^k(n)+f(n)+\sum\limits_{d|n,d\neq 1,d\neq n}f(d)f^k(n/d) \end{aligned}\]

从而可以倍增递推\(\{b_{k,n}\}\)
然后再由倍增的过程，从\(f^k(n)\)倒推\(f(n)\)