CF 1368G Shifting Dominoes
题意
题意:
\(n\times m\)的方格,用多米诺骨牌填满了,可以进行以下操作:
拿走一个骨牌
移动其他骨牌,但其他骨牌最终的位置必须至少与一个初始位置重合
问能构成多少个本质不同的图,两个图不同当且仅当两个空格中的某个空格所在位置不同
做法
将一个多米诺骨牌描述成一对二元组
若存在\((a,b)(a,b+1)\),考虑左移一位,相当于空格右移两位:\((a,b-1)\longrightarrow (a,b+1)\);右移一位同理:\((a,b+2)\longrightarrow (a,b)\)
对于\((a,b)(a+1,b)\)同理
结论1:不存在环
证明:
若存在环,我们能证明环内部(不包括边界)点数为奇数,即内部不可能填满,故不合法
考虑将环补成矩形,具体的,反复将凹进去的部分补成凸的,显然这样不会改变矩形内点数的奇偶性
在补好矩阵后,容易得到矩阵的边长均为奇数,由于边界点数为偶数,故内部点数为奇数
结论2:图为外向森林
证明:
由连边方式决定,每个点至多有一个入边
结论3:相邻两个点所在弱连通图不同
证明:
同一弱连通图,点横坐标与纵坐标之和奇偶性相同
将图黑白染色
我们考虑能否释放\((a_1,b_1)(a_2,b_2)\),显然这两个所处的位置颜色不同,充要条件为这两个点至根有交(以多米诺骨牌作为标号)
若我们释放了两个同一骨牌的点,可以归入一开始直接把这个骨牌拿走的情况
问题转化为经典的矩阵并(参考IOI2018狼人)