CF 1368G Shifting Dominoes

题意

题意：
\(n\times m\)的方格，用多米诺骨牌填满了，可以进行以下操作：
拿走一个骨牌
移动其他骨牌，但其他骨牌最终的位置必须至少与一个初始位置重合
问能构成多少个本质不同的图，两个图不同当且仅当两个空格中的某个空格所在位置不同

做法

将一个多米诺骨牌描述成一对二元组
若存在\((a,b)(a,b+1)\)，考虑左移一位，相当于空格右移两位：\((a,b-1)\longrightarrow (a,b+1)\)；右移一位同理：\((a,b+2)\longrightarrow (a,b)\)
对于\((a,b)(a+1,b)\)同理

结论1：不存在环

证明：
若存在环，我们能证明环内部（不包括边界）点数为奇数，即内部不可能填满，故不合法
考虑将环补成矩形，具体的，反复将凹进去的部分补成凸的，显然这样不会改变矩形内点数的奇偶性
在补好矩阵后，容易得到矩阵的边长均为奇数，由于边界点数为偶数，故内部点数为奇数

结论2：图为外向森林

证明：
由连边方式决定，每个点至多有一个入边

结论3：相邻两个点所在弱连通图不同

证明：
同一弱连通图，点横坐标与纵坐标之和奇偶性相同

将图黑白染色
我们考虑能否释放\((a_1,b_1)(a_2,b_2)\)，显然这两个所处的位置颜色不同，充要条件为这两个点至根有交（以多米诺骨牌作为标号）

若我们释放了两个同一骨牌的点，可以归入一开始直接把这个骨牌拿走的情况

问题转化为经典的矩阵并（参考IOI2018狼人）