DPC6th

D

令\((V,s)\)为点集\(V\)，从\(s\)出发，若存在哈密顿回路即为合法
必要条件

• \(|V|\neq 3\)，除\(s\)外，没有顶点入度为\(|V|-1\)
• \(|V|=3\)，满足上述条件外，\(V\backslash \{s\}\)无边

进一步的，这个必要条件为充要条件

带点归纳的来证明这个东西（并没有看懂官方题解里具体的证明，但画画图可以感性理解，所以下面也不会写的太详细）

证明：
\(V\backslash \{s\}\)中一定存在一点\(t\)，使得\((V\backslash \{s\},t)\)合法

• \((s,t)\notin E\)则直接接在后面
• \((s,t)\in E\)
  \(s\)能到达\(V\backslash \{s,t\}\)，一定存在\(u\)，使得\((V\backslash \{s,u\},t)\)合法
  则构造\(s\longrightarrow u\longrightarrow t\longrightarrow \cdots\)

考虑根据这个充要条件怎么构造：

• \(|V|\le 4\)，我们爆搜构造
• \(|V|>4\)，\(\exists s\)，其入度为\(|V|-1\)，显然填其。否则任意点均符合条件，选择最小的

E

将\(l_i\)降序排列，然后依次进行操作
假设现在有\([l_1,r_1),[l_2,r_2),\cdots,[l_m,r_m)\)，长度分别为\(L_i=r_i-l_i\)。将长度为\(l\)的线段添加进去，有三种情况

如果我们并不关心已有段具体位置，也就是它们暂时还并未放到线段中取，仅考虑形成集合\(S=\{L\}\)的方案数

• 增加新段：\(L_{m+1}=l\)
• \(l\)与一个段合并
• \(l\)与两个段合并

由于\(l_i\)是降序排列的，所以不存在另外的情况

• 增加新段
  有一种方案。\(S'=S\cup l\)
• 与一个段合并
  假设其与\(L_i\)合并
  若\(S'=S\)，即完全被\(L_i\)包含，有\(L_i-(l-1)\)种方案
  若\(L_i\)长度增加，\(\forall x\in[1,l)\)，有两种方案使得\(L_i'=L_i+x\)
• 与两个段合并
  假设其连接在\(L_i,L_j\)中间
  \(\forall x\in[0,l-1)\)，有\(l-1-x\)种方案使得，\(L_i,L_j\longrightarrow L_i+L_j+x\)

令\(\sum L_i=K\)，其转移到\(\sum L_i'=K'(K'\ge K)\)的方案，可以通过\(K\)得知而并不需要知道具体的\(\{L\}\)

令\(f_{i,m,K}\)为处理完前\(i\)个\(\{l\}\)，有\(m\)段，其中\(\sum L=K\)。状态数为\(O(n^2X)\)，转移\(O(l_i)\)。复杂度为\(O(n^2X^2)\)
容易发现，\(m\le \frac{X}{l_i}\)。复杂度可优化至\(O(n^2X)\)