AGC043(F未做)

A

对于棋盘上的一条路径，花费为连续障碍的个数

B

将\(a_i-1\)，则只有\((0,1,2)\)三个数
显然，若序列中存在\(1\)，则答案仅可能为\(0/1\)，那么考虑在模\(2\)的条件下进行，则每个数对答案的贡献可以表示为组合数

若序列中不存在\(1\)，即仅有\(0,2\)，将\(2\)看作\(1\)，若最终答案为\(1\)则实际为\(2\)

C

显然，这题贪心

定义\(f_{x,y,z}\)，等于\(1\)则可选，等于\(0\)则不可选
\(f_{x,y,z}\)可通过\((x',y,z),(x,y',z),(x,y,z')\)转移，即若后继相邻节点全为\(0\)，其为\(1\)

考虑其意义，将边按编号重定义方向，相当于博弈中，三张图，状态为三张图中所在点
那么\(f_{x,y,z}=1\)对应比输状态

对每个图的点搞出\(sg\)函数来，\(ans=\sum\limits_{sg_x\oplus sg_y\oplus sg_z=0}10^{18(x+y+z)}\)
由于在DAG中点sg函数的上界为\(O(\sqrt{m})\)，可以直接枚举两张图中点的sg值

\(O(n+m)\)

D

令\(a_{i,j}\)为第\(i\)个序列第\(j\)个数
我们发现若\(a_{i,j}<a_{i,j-1}\)，其在序列中一定是连续的，进一步的，段可以分成前缀最大值
将其合并，例如\(\{5,6,1\}\)合并为\(\{5,6\}\)、\(\{4,3,1\}\)合并为\(\{4\}\)

那么若以其为序列进行操作，其得到的序列是有序的
若最后得到的序列长度为\(m\)，其每个数有一个代表的长度\(len_i\)

考虑判断序列\(\{len\}\)合法的充要条件

• \(len_i\in[1,3]\)
• \(len_i=2\)的个数不超过\(len_i=1\)的个数

对于序列\(\{len\}\)，其能表示出来的原数组的个数为\(\dfrac{3n!}{\prod\limits_{i=1}^m (\sum\limits_{j=1}^i len_j)}\)

解释：
考虑从最后一段开始选其，该段选择靠后的\(len_i-1\)个数后，首数直接确定了

E

考虑一个点集，如何为合法
令点作直线垂直于\(x\)轴
构造字符串，从\((0,0)\)出发，若从\(i\)点垂线上方经过，添加\(u_i\)，若从下方经过，添加\(d_i\)
若该字符串能通过每次将相邻两个相同的字符删除，从而达到清空字符串的效果，则成功

找到极小的非法子集，令其大小为\(n\)

• \(n=1\)：\(s_1 = u_1d_1\)
• \(n>1\)：\(s_n = u_n s_{n - 1} u_n d_n \overline{s_{n-1}} d_n\)。其中\(\overline{s_{n}}\)表示将\(u_i,d_i\)互换；进一步的，可以发现这其实就是翻转

证明：
显然该子集时，是非法的。考虑证明去掉任意点后合法
若存在\(x\in[1,n]\)，\(s_x\)可以清空即可
若去掉\(n\)，显然可行。若去掉\(x\in[1,n)\)，考虑\(s_x = u_x s_{x - 1} u_x d_x \overline{s_{x-1}} d_x=u_xs_{x-1}\overline{s_{x-1}}d_x=u_xd_x=\emptyset\)

L挺松的，可以把非法子集融到一起