NPC 2020

C

code
本来不想写这**题的，但被坑死了（特判\(n=0\)时需满足\(a_0=1\)才有解）

跟官方题解有点不同，是逆推的，本质差不多
令\(g_i\)为第\(i\)层能向下伸的最大的个数，由于\(\sum a_i\)不大，这个可以限制在long long范围内

然后从第\(n\)层逆推，令当前处理第\(i\)层，利用\(g_i\)将第\(i+1\)层的个数约束到第\(i\)层，然后再加上\(a_i\)

D

连边\((i,p_i)(p_i\neq 1)\)，我们单独统计一个基环树的出现次数
这时图中出现基环树及树，对于每个基环树，不管其他边怎么连，其仍会出现，\((n-1)^K\)

现在统计若干个树并一起的方案数，考虑\(m\)个树，节点个数分别为\(a_1,a_2,\cdots,a_m\)
则方案数为

• \(m=1\)：\(a_1-1\)
• \(m>1\)：\((n-1)^{K-m}(m-1)!\prod a_i\)

E

结论1：先把\(0\)全部删完为最优解

若删了\(1\)，找后面的\(0\)去调整并不劣

考虑相邻两个\(1\)，产生的贡献永远固定，故我们可以将序列中所有的相邻\(1\)删掉，并计算贡献
那么问题就描述成不相邻的\(1\)所组成的序列
令某个位置的\(1\)前面有\(p\)个\(0\)，后面有\(q\)个\(1\)

• 当前位置为偶数：\(\left\lfloor\frac{p}{2}\right\rfloor+q\)
• 当前位置为奇数：\(\left\lceil\frac{p}{2}\right\rceil+q\)

通过下面操作可以达到上界

• 将前缀\(0\)全部删掉
• 从左往右将每个\(0\)区间删到仅剩\(1\)个
• 从左往右依次将\(0\)删掉

F

考虑合法序列的充要条件，对于\(\forall i,j(1\le i<j\le M)\)
按二进制为从高到低比较，第一个不相同的，若\(a_i=1,a_j=0\)，则之后的所有位必须相同

令\((n,m)\)表示有\(n\)个数，共有\(m\)位的答案

• 若第\(m\)位在序列上形如：\(000\cdots 111\)，即前面一段\(0\)后面一段\(1\)
  则可以转移到\((n,m-1)\)
• 若出现：\(000\cdots 01???01\cdots 111\)，即去掉前缀\(0\)与后缀\(1\)后，序列以首为\(1\)尾为\(0\)
  则中间一段的之后的所有位必须相同，可以转移到\((n-(len-1),m-1)\)。其中\(len\)表示中间那段序列的长度