AGC045(E、F未做)

A

令\(dp_i\)为\(\{x|x进入后最终能变成0\}\)
初始\(dp_{n+1}=\{0\}\)

• \(s_i=0\)
  \(dp_{i}=dp_{i+1}\cup dp_{i+1}~xor~a_i\)
• \(s_i=1\)
  若\(a_i\in dp_{i+1}\)，是否操作对答案并不影响，\(dp_{i}=dp_{i+1}\)
  若\(a_i\notin dp_{i+1}\)，玩家1赢了。因为若过来一个\(x\)，\(dp_{i+1}\)并不能同时表示出\(x\)和\(x\oplus a_i\)

B

题目可以描述成最大前缀和-最小前缀和
令\(f(M)\)为最大前缀和为\(M\)时最小前缀和最大是多少
令\(Z\)为整个序列的最大前缀和最小是多少，则\(ans=\{M-f(M)|Z\le M\}\)

固定\(f(M)\)，有一个显然正确的贪心：先将"?"全变成\(-1\)，然后再从前到后，对于每个"?"，能变成\(+1\)就边
我们观察到，当\(M\)增加\(2\)时，最多将一个\(-1\)变成\(+1\)，\(f(M+2)\le f(M)+2\)

那么\(ans=min(Z-f(Z),(Z+1)-f(Z+1))\)

C

不失一般性的，可以将题目描述成\(A\le B\)
考虑判断某序列是否能得到，充要条件为：

• 将序列至少为\(A\)长度的\(0\)段染成\(1\)段后，序列存在至少长度为\(B\)的\(1\)段

必要性：若使用过\(B\)操作，观察最后一次使用\(B\)操作，之后的\(A\)操作若破坏了最后一次\(B\)操作，可以实现还原；若没有使用过\(B\)操作，则显然
充要性：将序列某个长度为\(B\)的\(1\)段固定，其他位置可以任意染色，最后再适当破坏该段

考虑计算不合法方案数，当将\(A\)段染成\(B\)后，序列的形状为\(0\)小于\(A\)，\(1\)小于\(B\)
不重复地，统计序列\(0\)小于\(A\)，\(1\)小于\(B\)，其中\(1\)段在保证首尾为\(1\)的情况下，中间可填\(0\)
特殊地，开头和结尾的\(1\)段分别首、尾可以是\(0\)

D

考虑最优策略：

• 随机选择一个亮起的灯\(x\)
• 若\(p_x=x\)，则失败了
• 若\(p_x\neq x\)，若\(p_x\)暗下去了，则将其点亮；若\(p_x\)亮了，则操作\(p_x\)

由于随机性，可以假设每次随机选择的亮起的灯为：\([1,A]\)中最小的

令\([1,A]\)中最小的\(p_x=x\)的点为\(t\)。若不存在，令\(t=A+1\)
那么一个排列合法的充要条件为：
\(\forall x(A,n]\)置换环上存在\(< t\)的数

将序列中\(> A\)的元素删去，考虑剩下的置换
有一种特殊情况，就是删去前非自环，删去后不为自环

• 令满足环中存在\(< t\)的位置个数为\(i\)
• 令\(<t\)且为自环的个数为\(j\)

考虑将\(> A\)的元素插进去，则方案数为

\[(n-A)^{\underline{j}}\times (i+(n-A-j)-1)^{\underline{n-A-j}} \]

对于置换中不存在\(< t\)的\(A-i\)个位置，其应形成若干个从头到尾都亮着的环。所以系数还要乘上\((A-i-1)!\)

现在具体考虑做法，令\(f_{i,j}\)为\([1,A]\)中满足环中存在\(<t\)位置的个数为\(i\)，自环尾\(j\)：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+\sum\limits_{k}^{i-2}f_{k,j}(A-k-1)^{\underline{i-k-1}} \]

新建环，选择当前未选择的最小的位置，并加入，然后\(i-k-1\)个位置与其形成一个环排列