杂题

题意

给定\(n\)，求\(\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{k=1}^n [(i,j),(i,k)]\)

做法

令\(f[n]=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n [(n,i),(n,j)]\)
将其展开一下，是这样的

\[\sum\limits_{d_1|n}\sum\limits_{d_2|n}[d_1,d_2](\sum\limits_{k|\frac{n}{d_1}}\mu(k)\frac{n}{d_1k})(\sum\limits_{k|\frac{n}{d_2}}\mu(k)\frac{n}{d_2k}) \]

这样看的话显然f是个积性函数了
\(f[p^k]=(2∗k+1)∗(p^{2k}−p^{2k−1})+p^{k−1}\)