CF751E

题意

对于两个\(n\)元排列\(A,B\)，定义其距离为，反复将\(A\)任意两个位置的元素交换，使得\(A\)变成\(B\)，的最小操作次数。先给定两个残缺的\(n\)元排列，要求将?位置填上数字，使得距离\(i\in[0,n)\)，的答案\(ans_i\)

做法

考虑两个完整的排列\(A,B\)，其距离为：将\(A_i\)与\(B_i\)连边，\(n-\)环个数

对于两个残缺的数字，也同样连边，将?换成\(0\)，不过其中的\(0\)我们保留下来。
例如\(A_i=1,B_i=0;A_j=0,B_j=1\)，则会形成\(0-0\)；\(A_i=1,B_i=0;A_j=2,B_j=1\)，则会形成\(0-2\)
因为中间的数字是没用的

提前将已经形成的环去掉
最后形成三类两个点的链：\(0-0\)，\(0-x\)，\(x-0\)
考虑将\(0-x_1,x_2-0\)拼接的情况

• 若\(0-x_1\),\(x_2-0\)这样拼，是不行的，因为\(x_1\neq x_2\)，否则一开始这条链就会被缩为\(0-x\)
• 若\(x_1-0\),\(0-x_2\)这样拼，那么必然是将两个\(0\)换成\(x_3\)，\(x_1-x_3-x_2\)，同上\(x_1\neq x_2\)，所以后面至少得拼个\(0-0\)，\(0-0\)变为\(x_2-x_1\)，使得\(x_1-x_3-x_2-x_1\)从而形成环。
  这一类情况我们稍后考虑

考虑将\(0-x\)这一类单一的链拼接

• \(0-x_1-0-x_2\)，这类是可以很简单的拼成环。故任意\(i\)个\(0-x\)拼成环

考虑将\(x-0\)这一类单一的链拼接

• 同上

\(0-0\)先等一等再考虑

先处理\(0-x\)单一的链恰好拼接成\(i\)个环的方案数\(f_i\)
不过不好直接处理，令\(g_i\)为至少拼接成\(i\)个环的方案数
\(g_i=\sum\limits_{j=i}^m {m\choose j}S_{j,i}(k+m-j)^{\underline{m-j}}\)

\(m\)为\(0-x\)的链数量，\(k\)为\(0-0\)的链数量
枚举\(j\)个\(0-x\)，通过第一类斯特林数算拼成环的方案数，然后剩下\(m-j\)的，选择前驱，可以选择自己，若选择自己，则单独\(x-x\)形成单点环
此时，若\(0-x\)前接\(0-0\)，则形成\(0-0\)
若\(0-x\)前接\(0-x\)，仍然是\(0-x\)
最后全部处理完后，要么是\(0-x\)形成了环，要么是\(0-0\)。显然\(0-0\)的链个数是不变的
然后二项式反演能得到\(f_i\)

同样的，可以得到\(h_i\)为\(x-0\)单一的链恰好拼接成\(i\)个环的方案数

令\(k\)为\(0-0\)链数量，形成\(i\)个环\(l_i\)，还需要将链头标号，使得成为\(0-x\)：\(l_i=S_{k,i}k!\)

然后三个卷积一下