AGC029F

题意

给定\(n-1\)个\(\{1,2,...,n\}\)的子集\(E_i\)（\(E_i\ge 2\)），每个子集选择两个点连边，使得最后形成一棵树。

做法

考虑二分图：\(u\longrightarrow id(i)(u\in E_i)\)

假设我们得到了解，观察其在二分图上的样子是怎样的？

对于\(E_i\)，选出来的为\((u,v)\)，二分图上选出\((u,i)(v,i)\)。
由于最终构成了一棵树，对于任意右侧集合\(S\)，选出的左边的点集并大小\(\ge |S|+1\)。（1）

这等价于，若我们删去左侧任意节点，那么对于右侧集合\(S\)，选出的左边的点集并\(\ge |S|\)。
根据\(\text{hall}\)定理，此时\((n-1)-(n-1)\)二分图有完美匹配。

那么我们先网络流跑一遍完美匹配，如果不存在完美匹配显然不合法。
注意，若存在完美匹配，不一定合法，因为不一定满足（1）。

我们假设满足（1），可以构造一组解：

以\(1\)为根\(\text{dfs}\)。
每次遍历\(u\)所在的\(E_i\)（集合\(i\)还没有访问过），然后继续往\(i\)的匹配边的点\(\text{dfs}\)。
如果满足\(N(S)\ge |S|+1\)，那么一定能找到\(i\)。
假设现在已经用过了\(T\)集合，\(T不为全集\)，无法在已经遍历的点找到另外的集合，那么\(N(U-T)\le |U-T|\)，与假设不符。（其中\(U\)为\(\{1,2,\ldots,n-1\}\)即全集）