CF1119H

题意

给定\(x,y,z\)，及\(n\)个三元组\(\{a_i,b_i,c_i\}\)，\(F_i[j]=x[j=a_i]+y[j=b_i]+z[j=c_i]\)。求\(n\)个多项式的异或乘积。

做法

\(FWT(F_k)[i]=(-1)^{cnt(i\And a_i)}x+(-1)^{cnt(i\And b_i)}y+(-1)^{cnt(i\And c_i)}z\)
\(G[i]=\prod\limits_{k=1}^n FWT(F_k)[i]=\prod\limits_{k=1}^n ((-1)^{cnt(i\And a_k)}x+(-1)^{cnt(i\And b_k)}y+(-1)^{cnt(i\And c_k)}z)\)
括号内的数只有\(8\)种情况

为了化简状态，将\(\{a_i,b_i,c_i\}\longrightarrow \{a_i\oplus a_i,b_i\oplus a_i,c_i\oplus a_i\}\)
根据异或定义，最后得到的结果多项式\(A_i\)，原多项式\(B_i\)，则\(B_i=A_{i\bigoplus\limits_{j=1}^k a_j}\)

而对于三元组\(\{a_i'=0,b_i',c_i'\}\)，\(G[i]=\prod\limits_{k=1}^n FWT(F_k)[i]=\prod\limits_{k=1}^n ((-1)^{cnt(i\And a_k')}x+(-1)^{cnt(i\And b_k')}y+(-1)^{cnt(i\And c_k')}z)\)括号内仅有\((x+y+z)(x+y−z)(x−y+z)(x−y−z)\)
令这四种数量分别为\(c_1,c_2,c_3,c_4\)

• 令\(F_i[b_i]=1\)，即\(x=0,y=1,z=0\)。\(FWT(F_k)[i]=(-1)^{i\And b_k}\)。
  \(\sum\limits_{k=1}^n FWT(F_k)[i]=c_1+c_2-c_3-c_4\)
• 令\(F_i[c_i]=1\)，即\(x=0,y=0,z=1\)。\(FWT(F_k)[i]=(-1)^{i\And c_k}\)
  \(\sum\limits_{k=1}^n FWT(F_k)[i]=c_1-c_2+c_3-c_4\)
• 令\(F_i[b_i\oplus c_i]=1\)，相当于上面两种情况的卷积。\(FWT(F_k)[i]=(-1)^{i\And b_k}(-1)^{i\And c_k}\)。
  \(\sum\limits_{k=1}^n FWT(F_k)[i]=c_1−c_2−c_3+c_4\)
• \(c_1+c_2+c_3+c_4=n\)