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题意

给定\(n\)个点的带边权树，\(m\)条代价路径，令两条路径\((u_1,v_1,w_1)(u_)(u_2,v_2,w_2)\)，\(val=\sum\limits_{(u,v)\in dis(u_1，v_1)~or~(u,v)\in dis(u_2,v_2)}val(u,v)-w_1-w_2\)。求\(max_{i,j,i\neq j}\{val_{i,j}\}\)。

做法

令\(x\)到根的边权和为\(len_x\)

lca不同

令黄色链，长度为\(len_1\)，代价为\(val_1\)，lca为\(lca_1\)。蓝色：\(len_2,val_2,lca_2\)
令红色点为\(x\)
\(val=len_1+len_2-len(x)+max(len(lca_1),len(lca_2))-val_1-val_2\)

考虑对每个点\(x\)，线段树维护
\(f_i\)：路径一端在\(x\)子树，链的lca的深度为\(i\)，链长度-代价的最大值
\(g_i\)：路径一端在\(x\)子树，链的lca的深度为\(i\)，链长度-代价+\(len_{lca}\)的最大值

可以线段树合并维护。值得注意的细节是，处理完x的子树后，将\([dep_x-1,n]\)清空

答案的更新可以通过：\(fa_x=y\)，将\(y\)合并给\(x\)时左子树右子树这样更新一下

lca相同

枚举lca，建虚树
\(val=\)(路径长度和+蓝点间路径+绿点路径)/2-代价
枚举蓝点的lca，令蓝点为\(a,b\)，对应的绿点分别为\(p_a,p_b\)
相当于最大化：\(dis(p_a,p_b)+dis(a,p_a)+dis(b,p_b)-2cost(a,p_a)-2cost(b,p_b)+len(a)+len(b)-2len(lca)\)
发现除去\(dis(p_a,p_b)\)，其他的都是独立的
由于枚举了\(lca\)，则无需管\(2len(lca)\)。对绿点下面新建一个叶子节点，其边权为上述需要维护的。
不过边权可能为负，不过由于是叶子节点，新加入点作为端点的最长路径另一端点必定为原直径端点依然成立