jzoj5520

题意

求满足：\(\sum\limits_{i=1}^m a_i\le S\)，\(\forall i,a_i>0\)，\(a_i\le T(i\le n)\)。
\(n\le m\le 10^9,T\le 10^5,n\times T\le S\le 10^{18},m−n\le 1000\)

做法一

考虑容斥：\(\sum\limits_{i=0}^n (-1)^i {n\choose i}{S-iT\choose m}\)

等价于\([x^m]((1+x)^T-1)^n(1+x)^{S-nT}\)

证明：
考虑组合意义
有\(S\)个位置，每个位置染黑白两色，这些位置分成\(n+1\)块，前\(n\)块每块有\(T\)个位置，最后一块有\(S-nT\)个位置。恰好m个位置为黑色，前面\(n\)块每块至少有一个位置被染黑

然后\((1+x)^T-1\)的常数项为\(0\)，所以\(((1+x)^T-1)^n\)的\([0,n)\)次项均为0，所以答案等价于\([x^{n-m}]\frac{((1+x)^T-1)^n(1+x)^{S-nT}}{x^n}\)
除掉\(x^n\)，可以看作在进行\(((1+x)^T-1)\)的\(n\)次方前整体往前移一位，所以在快速幂的时候要保留\([0,n-m+1]\)次