TopCoder SRM 701 FibonacciStringSum

题意

定义"Fibonacci string"为没有连续1的01串。现在，给出a,b，定义一个"Fibonacci string"的权值为\(y^bx^a\)，其中\(x\)为\(0\)的个数，\(y\)为\(1\)的个数。
要求对所有长度为n的"Fibonacci string"的权值求和，对\(10^9+7\)取模。
\(n≤10^9, a,b≤25\)

做法

显然\(Ans=\sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} k^b (n-k)^a\)
考虑矩阵快速幂，矩阵内要存\(n-1,n-2\)的\(i,j(i\le b,j\le a)\)，边长\(O(ab)\)的，显然过不去

\(\begin{aligned} &\sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k} k^b (n-k)^a \\ &= \sum_{j=0}^a {a \choose j} (-1)^jk^j \sum_{k=0}^n {n-k+1 \choose k}k^{b} \end{aligned}\)

这样边长就是\(O(b)\)的了