[TJOI2019]甲苯先生的线段树

题意

对于\(d\)层完全二叉树，\(T\)次查询，给定\(a,b\)，求\(a,b\)路径编号和\(x\)，以及树上有多少条路径编号和为\(x\)。\(d\le 50,T\le 10\)

做法

令\(cnt(x)\)为\(x\)二进制中\(1\)的个数
结论1：点\(x\)到根路径和为\(2x-cnt(x)\)。在树根为\(1\)或\(0\)时均成立。

证明：
没想到什么简单的办法，暴力归纳一下即可

结论2：记路径和为\(s\)，两端为\(x,y\)，令\(z=lca(x,y)\)，若\(z\longrightarrow x\)经过\(a\)条边，\(z\longrightarrow y\)经过\(b\)条边。若\(s,a,b\)为定值，\(z\)也为定值

证明：
若\(s,a,b\)为定值
记\(z\)的二进制有\(t\)位，则整条路径上的点前\(t\)位是确定的，显然整条路径前t位之和为\((2^{a+1}+2^{b+1}-3)z\)
记\(k\)为其他贡献：\(k\)的最小值为\(x\)一直往左走，\(y\)往右走一步后一直往左走；\(k\)的最大值为\(x\)往左走一步后一直往右走，\(y\)一直往右走。故\(k\in [2^b-1,2^a+2^{b+1}-a-b-3]\)
因为\(k<2^{a+1}+2^{b+1}-3\)，所以\(z\)是定值，为\(\frac{s}{2^{a+1}+2^{b+1}-3}\)
令\(k=s\%z\)，即除开前\(t\)位的贡献，令\(x,y\)除掉前\(t\)位后位\(x',y'\)，根据结论1，\(2(x'+y')-cnt(x')-cnt(y')=k\)。显然得满足\(x'<2^{a-1},y'<2^b\)且\(y'\)第\(b\)位为\(1\)

然后这题就只用先算出\(s\)，枚举\(a,b\)，转化问题为求有多少个\(x',y'\)满足上面那个条件