bzoj4574

题意

给出一个长度为\(n\)的随机序列，进行\(q\)次操作，每次操作等概率选择一个区间\((i,j)\)，将区间内的元素修改为区间内的最大值。求最后每个元素的期望\(\times (\frac{(n+1)n}{2})^q\)。\(n,q\le 400\)

做法一

令\(sum_{i,j}\)为第\(i\)个位置最后为第\(j\)个初始元素的值的方案数，那\(ans_i=\sum\limits_{k=1}^n a_k sum_{i,k}\)

考虑每个元素对序列上各个位置的贡献，\(i\)能贡献的极大区间\([L,R]\)，满足其是区间内的最大值。

单独考虑这个位置，令其为\(now\)，令\(f_{i,j,k}\)为前\(i\)次操作后恰好\([j,k]\)小于\(a_{now}\)的方案数，边界为\(f_{0,L,R}=1\)

\[f_{i,l,r}=\sum_{u=L}^{l-1}f_{i-1,u,l}*(u-1)+\sum_{u=r+1}^R f_{i-1,l,u}*(n-u)+f_{i-1,l,r}*(cnt_{l-1}+cnt_{r-l+1}+cnt_{n-r}) \]

其中\(cnt_i=\frac{i(i-1)}{2}\)
\(f_q\)可以用前缀和在\(q\times len^2\)的时间算出来

因为序列是随机的，跑得过

做法二

令\(g_x\)为\(i\)位置最终\(\le x\)的方案数，\(ans_i=\sum\limits_x x(g_x-g_{x-1})\)
将原序列离散化，\(ans_i=\sum\limits_{j=1}^{tot}v_{j}(g_{v_j}-g_{v_{j-1}})\)，若令\(v_{tot+1}=0\)，则\(ans_i=\sum\limits_{j=1}^{tot}g_{v_j}(v_j-v_{j+1})\)

观察到做法一里的\(f\)仅边界不同，换言之，枚举所有区间，该区间能对边界产生的贡献为\(\sum\limits_{j=max\{a_l,...,a_r\}}^{min(a_{l-1},a_{r+1})-1}(v_{j}-v_{j+1})\)（\(a_0=a_{n+1}=tot+1\)）

\(O(q\times n^2)\)