bzoj5219

题意

有多少竞赛图满足从\(1\)出发最长路径为\(k\)。\(k\le n\le 2000\)

做法

令\(f_{i,j}\)为\(i\)个点，\(1\)出发最长路径为\(j\)

• \(j<i\)
  设\(1\)出发最长路径的点集为\(A\)，剩下的为\(B\)，从路径尾到\(1\)归纳可证明\(B\)间\(A\)的方向为\(B\longrightarrow A\)

\[f_{i,j}=f_{j,j}\times {i-1\choose j-1}\times 2^{\frac{(i-j)(i-j-1)}{2}} \]

• \(j=i\)

\[f_{i,i}=2^{\frac{i(i-1)}{2}}-\sum\limits_{k=1}^{i-1}f_{i,k} \]