Processing math: 7%

[SDOI2018]反回文串

题意

问有多少个长度为N且字符集大小为K的字符串可以通过回文串旋转 (把第一个字符移到最后)若干次得到。K\le N≤10^{18}

做法

ARC64F的加强版

h(d)=d~is~odd?d:\frac{d}{2}f(d)为最小周期为i的回文串
g(d)=K^{\left\lceil\frac{d}{2}\right\rceil}=\sum\limits_{i|d}f(i)
反演一下有:f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)g(\frac{n}{d})
有:\begin{aligned}\ Ans&=\sum\limits_{d|n}h(d)\sum\limits_{p|d}\mu(p)g(\frac{d}{p})\ &=\sum\limits_{p|n}g(p)\sum\limits_{d|\frac{n}{p}}h(dp)\mu(d) \ \end{aligned}

在大多数情况下有,h(dp)=dh(p)
在不满足条件:d~is~even,p~is~odd时,容易得出\frac{n}{p}~is~even,\sum\limits_{d|\frac{n}{p}}h(dp)\mu(d)=0,故在不考虑这部分的情况下:\begin{aligned}\ \sum\limits_{d|\frac{n}{p}}h(dp)\mu(d)&=h(p)\sum\limits_{d|\frac{n}{p}}\mu(d)d \ &=h(p)\prod\limits_{i=1}^k (1-p_i)~~~(\frac{n}{p}=\prod\limits_{i=1}^k p_i^{deg_i})\ \end{aligned}

用Pollard-Rho分解质因数然后dfs即可
O(Pollard-Rho(N)+\sigma_0(N)logN)

posted @   Grice  阅读(184)  评论(0编辑  收藏  举报
编辑推荐:
· Linux glibc自带哈希表的用例及性能测试
· 深入理解 Mybatis 分库分表执行原理
· 如何打造一个高并发系统?
· .NET Core GC压缩(compact_phase)底层原理浅谈
· 现代计算机视觉入门之:什么是图片特征编码
阅读排行:
· 手把手教你在本地部署DeepSeek R1,搭建web-ui ,建议收藏!
· Spring AI + Ollama 实现 deepseek-r1 的API服务和调用
· 数据库服务器 SQL Server 版本升级公告
· C#/.NET/.NET Core技术前沿周刊 | 第 23 期(2025年1.20-1.26)
· 程序员常用高效实用工具推荐,办公效率提升利器!
点击右上角即可分享
微信分享提示