[SDOI2018]反回文串
题意
问有多少个长度为N且字符集大小为K的字符串可以通过回文串旋转 (把第一个字符移到最后)若干次得到。K\le N≤10^{18}
做法
ARC64F的加强版
设h(d)=d~is~odd?d:\frac{d}{2},f(d)为最小周期为i的回文串
有g(d)=K^{\left\lceil\frac{d}{2}\right\rceil}=\sum\limits_{i|d}f(i)
反演一下有:f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)g(\frac{n}{d})
有:\begin{aligned}\
Ans&=\sum\limits_{d|n}h(d)\sum\limits_{p|d}\mu(p)g(\frac{d}{p})\
&=\sum\limits_{p|n}g(p)\sum\limits_{d|\frac{n}{p}}h(dp)\mu(d) \
\end{aligned}
在大多数情况下有,h(dp)=dh(p)
在不满足条件:d~is~even,p~is~odd时,容易得出\frac{n}{p}~is~even,\sum\limits_{d|\frac{n}{p}}h(dp)\mu(d)=0,故在不考虑这部分的情况下:\begin{aligned}\
\sum\limits_{d|\frac{n}{p}}h(dp)\mu(d)&=h(p)\sum\limits_{d|\frac{n}{p}}\mu(d)d \
&=h(p)\prod\limits_{i=1}^k (1-p_i)~~~(\frac{n}{p}=\prod\limits_{i=1}^k p_i^{deg_i})\
\end{aligned}
用Pollard-Rho分解质因数然后dfs即可
O(Pollard-Rho(N)+\sigma_0(N)logN)
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