随笔分类 - A-组合数学-概率/期望
摘要：题意 给定一个$n$阶随机的排列，再给定$K$，求最长的子序列的长度，满足有至多$K$对相邻元素中左边的大。 \(n\le 50000\) 做法 有一个显然的做法，$f_{i,k}$为以$i$结尾，有$k$个特殊对的最长长度，有： \(f_{i,k}=1+\max(f_{j,k-[a_j< a_i]
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摘要：有趣的东西，感觉如果写也基本是翻译了，就直接放链接 https://www.lesswrong.com/posts/AAqTP6Q5aeWnoAYr4/the-weighted-majority-algorithm https://en.wikipedia.org/wiki/Randomized_w
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摘要：题意 给定$n,m$，有$n$张好牌，$m$张坏牌。 每轮游戏如下： 一开始将牌打乱，然后从前往后抓牌，若抓到坏牌，退出此轮，如果所有的好牌都抓过，则结束游戏，否则开启一轮新游戏。 注意之前的某轮抓的牌也称其抓过。 求抓的牌的期望次数。 做法一 $\begin E(抓牌次数)&=\sum\limit
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摘要：题意 给定$n,g,t$及序列${c_i：1\le i\le n}$ 有$n$张桌子，每张可容纳的人数为$c_i$ 有$t$群人来吃饭，每群人数为$[1,g]$中随机的一个整数$x$，会选一张最小的能容纳$x$个人的桌子坐下（若没有则离开） 求最后的期望人数 \(n,t\le 100\)，\(g,c
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摘要：题意 给定$n$，需要从$0$走到$n$，从$i$走到$i+1$成功的概率为$p_i$，如果不成功则返回$0$，不管成功与否均会花费一个单位的时间 幸运的是，可以放入$K$个读档器，若在$i$处失败了，只需要返回$j\le i$的读档器$j$（$0$位置本身可以看做一个读档器） 问从$0$走到$n$
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摘要：题意 给定$n$个操作，有一个初始变量$x=0$ 第$i$次操作，有$p_i$的概率给$x$加上$A_i$，有$1-p_i$的概率给$x$乘上$D_i$ 随机一个排列$p$，按$p_1,p_2,\cdots,p_n$的顺序依次执行操作，求$x$最后的期望 做法 若依次执行操作，令$x_i$为执行完前
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摘要：题意 $n$个位置排成一排，有$m$个人依次进场选位置 每个人开始会选择一个方向（从左至右或从右至左）并选择一个位置。他会走到他选择的那个位置，如果那个位置被人占用了，他会沿着他选择的方向一路走到第一个空位并坐下。 求有多少种情况满足每个人都有座位。 $1\le m\le n\le10^6$ 题意
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摘要：挑几道有意思的讲一下 B 将?换成$0/1$插到trie里面，建两棵tire，一棵表示子树是否有被选的（内向），一棵表示祖先是否有被选的（外向） D 这题很有意思啊 将两种操作定义为睡觉与工作 首先假设先全部选睡觉的，令其价值为$s_i$，那么将睡觉的调整为工作，价值为$e_i-s_i$ 令连续$k
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摘要：题意 "洛谷" 做法 令$f(a)$为输出$sqrt~a$得到的结果，也就是$f(a)=x,.s.t~x^2\equiv a(mod~n)$ 随机选择$x\in[1,n)$，得到$f(x^2)$，令$y=f(x^2)$ 令$n=p_1p_2...p_k$，则$y^2\equiv x^2(mod~p_
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摘要：题意 $n$个位置，\((x_i,y_i)\)，\(\forall i,j(i<j)x_i<y_j\)，\(val(i,j)=|x_i-x_j|\times min(y_i,y_j)\) 三种操作，修改$i$的横坐标或纵坐标，查询$[l,r]$的最大贡献 数据是随机的 做法 维护$l_i,r_i$为
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摘要：题意 总共有$T$秒时间，有$n$个事件，给定$t_i$，等概率花费$t_i~or~t_{i}+1$，事件得一件一件做。求期望完成事件的个数 做法一 令$f_i$为至少完成$i$件事的概率 $ans=\sum i\times(f_{i} f_{i+1})=\sum f_i$ 令$g_{i,j}$为前
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摘要：题意 有$n$个独立的实数变量，$x_i\in [0,a_i]$，求$E((\sum x_i)^m)$ 做法 考虑组合意义，就是在$x_1,x_2,...,x_n$中有序选择$m$个的乘积之和 $F_i(x)=\sum \frac{1}{a_i}\int_0^{a_i}t^jdt\frac{x^j}
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摘要：题意 父亲节点较小的树期望高度。$n\le 200$ 做法 令$dp_{i,j}$为$i$个点选出$j$个点组成的概率 $dp_{i,j}=dp_{i 1,j 1}\times \frac{j 1}{i}+dp_{i 1,j}\times \frac{i j}{i}$ 令$f_{i,j}$为$i$点
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摘要：题意 初始时有$n$个空位，边界视为已经被填，n个人依次填入东西，每次只能在 距离被填位置的距离最大 的空位填，求第$i$个人将东西填入$j$的概率。$n\le 1000$ 做法 每次是将东西填入某段空位的中间，空位长度是偶数的有两个位置可以填，先钦定填较左边这个 令奇数空段为$s_1$个，偶数空段
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摘要：题意 给定$n$点的树，给定$m$个关键点，从中选$k$个，从任意点开始任意点结束的最短路径期望长度 做法 假设$k$个点已经选好了，则答案为$2sum L$，$sum$为虚树边权和，$L$为直径长度 枚举每条边是否出现，令$u$为子树外的关键点，$d$为子树内的关键点，则出现的方案数为$\frac
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摘要：题意 "计蒜客" 做法 将$m$种随机映射到$7$种，有$\frac{7!}{7^7}\approx 0.06$的可能得到正确结果 现在考虑$7$种，折半，分成$(4,3)$，然后暴力枚举 用$2^7 2$去判断分组，使得暴力枚举的花费最小 结论 ：暴力枚举花费最小为$O(10^5)$ 令分好组后花
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摘要：题意 "洛谷" 做法 令$p=\sum p_i$ 令$f_i$为进行$i$次恰好到达目标状态的方案数，写成EGF的形式： $$\hat {F(x)}=\prod(\frac{e^{(p_i/p)\cdot x+( 1)^{s_i}e^{ (p_i/p)\cdot x}}}{2})$$ 令$g_i$为
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摘要：题意 有一条直线，你在$0$位置，你要去$h$位置。 路上有一些不同的位置上有敌人，你要和他战斗，你有$p_i$的概率赢。若你赢，则你可以走过去，否则你会死。还有一些不同的重生点（与敌人位置不同）。你每经过一个重生点有$p_i$的概率插旗。你死亡后你会在最后一个插旗的位置重生，然后该位置的旗子消失。
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摘要：题意 给出一个长度为$n$的随机序列，进行$q$次操作，每次操作等概率选择一个区间$(i,j)$，将区间内的元素修改为区间内的最大值。求最后每个元素的期望$\times (\frac{(n+1)n}{2})^q$。$n,q\le 400$ 做法一 令$sum_{i,j}$为第$i$个位置最后为第$j
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摘要：题意 有n个球排成一列，每个球都有一个颜色，用A Z的大写字母来表示，我们每次随机选出两个球ball1,ball2,使得后者染上前者的颜色，求期望操作多少次，才能使得所有球的颜色都一样？ 输出保留一位小数。 做法 单独考虑每种颜色 设当前颜色个数为$i$，令$g_i$为到达目标状态的概率，有$g_i
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