一些闲话

CSP 考前一个多月，发现自己字符串学的都忘完了，赶紧来开坑。

基本算法（板题 洛谷 P3375）

KMP（Knuth Morris Pratt）字符串匹配算法：在 \(\mathcal O(n+m)\) 的时间内，在原串 \(S\) 内查找为 \(P\) 的子串。

算法流程分为两部分：1. 预处理并计算 \(next\) 数组；2. 利用上一步的结果进行字符串匹配。

下面约定 \(n=|P|, m=|S|\)。

next 数组的定义

对于模式串 \(P\) 中 \(P_{1 \sim i}\) 的前缀，定义 \(next_i\) 为满足 \(P_{1 \sim k} = P_{(i-k+1) \sim i}\) 的最大 \(k(k < i)\) 的值。

即找出 \(P_{1 \sim i}\) 的最长真前缀使得它等于 \(P_{1 \sim i}\) 的一段等长的后缀。

注：\(next\) 数组，国外文献中一般称为 LPS Table，即 Longest Prefix which is also Suffix，可以对照其英文理解。

next 数组有什么用（如何利用 next 来匹配）

假如我们已经求出了 \(next_1 \sim next_n\)，考虑利用其进行子串匹配。

对于 \(S\) 中的每一个位置 \(i\)，令变量 \(j\) 表示模式串 \(P\) 已经匹配完了 \(j\) 个字符。

其初值表示上次已经匹配到了 \(P_j\) 的位置，即以 \(S_{i-1}\) 结尾的一段长度为 \(j\) 的后缀与 \(P_{1 \sim j}\) 是匹配的。

现在我们检查 \(P_{j+1}\) 是否与 \(S_i\) 匹配。（步骤 A）

• 如果相等，那么 \(S\) 与 \(P\) 又往后多匹配了一位，转步骤 B。

• 如果不等，朴素的想法是将 \(j\) 回到 \(1\) 重新匹配；但由 \(next\) 数组的定义，我们不妨令 \(j=next_j\)（见下图），然后回到步骤 A。

接着让 \(i\) 和 \(j\) 分别 \(+1\)，继续匹配下一个字符。（步骤 B）

如果在某一时刻有 \(j=n\)，那么说明 \(S_{(i-n+1) \sim i} = P\)，匹配成功。令 \(j=next_j\) 继续匹配。

可以证明，时间复杂度为 \(\mathcal O(m)\)。

参考代码（C++）：

for (int i = 1, j = 0; i <= m; ++i) {
	while (j && S[i] != P[j + 1]) j = nxt[j];
	if (S[i] == P[j + 1]) j++;
	if (j == n) {
		printf("Found pattern! Begins at: %d\n", i - n);
		j = nxt[j];
	}
}

如何高效地求 next 数组

对于 \(P\) 中的位置 \(i\)，假设我们已经求出 \(1 \sim i-1\) 的 \(next\)，考虑如何求 \(next_i\)。

同样令变量 \(j\) 初值为 \(next_{i-1}\)。

比较 \(P_i\) 与 \(P_{j+1}\)，分两种情况讨论：

• 如果 \(P_i = P_{j+1}\)，说明 \(P_{1 \sim i}\) 中长度为 \(j\) 的前缀向后扩展一位后，仍然等于其同样长的后缀。这符合 \(next\) 的定义，因此 \(next_i = j+1\)。

• 否则，令 \(j=next_j\)，重新比较（原理见下图）。

同样可以证明，上述操作是 \(\mathcal O(n)\) 的。

参考代码（C++）：

// 注意由于 next[i] < i，所以 next[1] = 0，i 从 2 开始
for (int i = 2, j = 0; i <= n; ++i) {
	while (j && P[i] != P[j + 1]) j = nxt[j];
	if (P[i] == P[j + 1]) j++;
	nxt[i] = j;
}

将二者放在一起，即可在 \(\mathcal O(n+m)\) 的时间复杂度内解决子串匹配问题。

至于复杂度证明…… 由于作者不会证这玩意儿，这里就不展开了。

（感性理解一下，这个基于双指针的算法，跳 \(next\) 跳起来是很快的，每次均摊是常数级别？反正是比暴力匹配快很多）

如果你背不出 KMP 板子

循环节问题（板题 洛谷 P4391）

待补充

哦对了，还有一道最长循环节问题，可以留作思考~

带删的字符串匹配（板题 洛谷 P4824）

待补充

Z 函数 / 扩展 KMP（板题 洛谷 P5410）

待补充

一些待完成的习题

NOIP2020 字符串匹配

NOI2014 动物园

更多请参见 OI-wiki