阴间分块：区间赋值，单点查询（分块套分块）

czyarl:https://www.cnblogs.com/czyarl/p/14515009.html

题目大意：有一个长度为n的序列，初始全为0。有两种操作：第一种是区间赋值，并且值全为正数且单调增；第二种是询问一个位置的值是什么。

所有的操作都是由程序在运行中根据seed随机生成的。也就是说，你可以无视入读带来的常数影响。

n的长度：6250000

操作1的次数：20000000

操作2的次数：10000

时间限制：8s

空间：1024Mb

 

思考：这道题的前身是某道题中的分块部分，但它只需要支持前后缀修改，单点查询。在czyarl冷静思考过后，想到了这个能支持O(1)区间修改，O(sqrt(n))单点查询（但常数很大，被zkw几近乱杀且用途很狭窄）的分块做法。（不过好像还没有见到任何一道题用过这个技巧）

 

我们先考虑这样一种分块，它建立在长度为n的序列上，支持O(1)区间修改，O(n)单点询问。首先，我们将其分为根号个块，并且对每个块开一个大小为$size_i*size_i$的二维数组tag[][]用来记录修改的信息，其中size是这一个块的大小。其次，我们继续开一个大小为$\sqrt{n}*\sqrt{n}$的二维数组tagB[][]，用来保存对于整块修改的信息。

 

对于一次修改操作，如果修改的区间完全落入一个块内，那么就在对应的tag[l][r]上进行一次更新。如果它跨过了若干区间，我们先在对应的左右块的tag[][]上进行一次更新，接着在tagB[cl][cr]上进行更新，其中cl、cr分别为l所属块的编号+1、r所属块的编号-1。

 

对于一次询问操作，我们先定位到所属的块，接着花$size_i*size_i$的时间询问这个块内tag[][]的答案。还有一些对整块进行修改的操作，花$\sqrt{n}*\sqrt{n}$的时间询问tagB[][]的答案。这样，我们就做到了O(1)区间修改和O(n)单点查询。这个数据结构的空间是O(n^1.5)的。

 

回到原问题上，我们先对原始的序列进行分块，并对每一个块使用一个上述的数据结构。如果一次修改完全落入一个块呢，那我们直接对这个块进行上述的修改操作。如果这次修改跨过若干个块，注意到跨过的整块的个数只有$\sqrt{n}$个，因此我们再对原数组使用一个上述的数据结构，用来记录修改整块的信息。

 

对于一次询问，我们先定位到所属的块，得到这个块内的答案。接着，我们再询问整块的答案，就得到了想要的东西。

 

于是，就做到了O(1)修改和O(sqrt(n))询问，空间复杂度是O(n^1.25)的（因为用了根号个上述的数据结构，每个数据结构的长度是n^0.5，n^0.75*n^0.5=n^1.25）。

 

优化：我们发现一次修改最坏要改9次数组，而其中有两次实际上只有前后缀修改。对于前后缀修改，我们只要在相应位置记录下答案，在询问时去找就行了。

czy代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define MAXN 2560100
#define MAXSQR1 2560100
#define MAXSQR2 1610
#define MAXSQR4 41
#define INF 1010000000
using namespace std;
template<typename T> void Read(T &cn)
{
    char c; int sig = 1;
    while(!isdigit(c = getchar())) if(c == '-') sig = 0;
    if(sig) {cn = c-48; while(isdigit(c = getchar())) cn = cn*10-48+c; }
    else    {cn = 48-c; while(isdigit(c = getchar())) cn = cn*10+48-c; }
}
template<typename T> void Write(T cn)
{
    T cm = 0; int cx = cn%10, wei = 0; cn = cn/10;
    if(cn < 0 || cx < 0) {putchar('-'); cn = -cn; cx = -cx; }
    while(cn) wei++, cm = cm*10+cn%10, cn = cn/10;
    while(wei--) putchar(cm%10+48), cm = cm/10;
    putchar(cx+48);
}
template<typename T> void WriteS(T cn) {Write(cn); putchar(' '); }
template<typename T> void WriteL(T cn) {Write(cn); puts(""); }
namespace getNum{
    unsigned lst;
    int q1, q2, A, n;
    void pre(int cn, int cq1, int cq2, int seed, int cA) {q1 = cq1, q2 = cq2, lst = seed, A = cA, n = cn; }
    unsigned get_r(unsigned cn) {lst ^= lst<<7; lst ^= lst>>3; lst ^= lst<<13; return lst%cn; }
    int get_n(int l, int r) {return l + get_r(r-l+1); }
    void get_val(int &val) {val = get_n(1, A); }
    void get_ne(int &typ, int &pos, int &l, int &r, int &val)
    {
        typ = get_n(1, q1+q2)<=q1 ? 1 : 2;
        if(typ == 1) q1--, l = get_n(1,n), r = get_n(l, n), val = get_n(1, A);
        if(typ == 2) q2--, pos = get_n(1,n);
    }
}
template<typename T> void Max(T &cn, T cm) {cn = cn < cm ? cm : cn; }
template<typename T> void Min(T &cn, T cm) {cn = cn < cm ? cn : cm; }
struct Blo4{
    int a[MAXSQR4+1][MAXSQR4+1];
    int n;
    void build(int ca[], int l, int r)
    {
        n = r-l+1;
        for(int i = 1;i<=n;i++) 
        {
            a[i][i] = ca[l+i-1];
            for(int j = i+1;j<=n;j++) a[i][j] = min(a[i][j-1], ca[l+j-1]); 
        }
    }
    void qu_min(int l, int r, int cn) {Min(a[l][r], cn); }
    int query(int cn) 
    {
        int ans = a[cn][cn];
        for(int i = 1;i<=cn;i++) for(int j = cn;j<=n;j++) Min(ans, a[i][j]);
        return ans;
    }
};
struct Blo2{
    Blo4 a[MAXSQR4+2];
    int pre[MAXSQR2+1], suf[MAXSQR2+1], blo[MAXSQR2+1], tou[MAXSQR2+1], wei[MAXSQR2+1];
    int tmp[MAXSQR4+1];
    int n, Sqr, alen;
    int hav_pre, hav_suf;
    void build(int ca[], int l, int r)
    {
        n = r-l+1; Sqr = sqrt(n);
        for(int i = 1;i<=n;i++) pre[i] = suf[i] = INF; hav_pre = hav_suf = 0; 
        for(int i = 1;i<=n;)
        {
            int j = min(n, i+Sqr-1); alen++;
            tou[alen] = i; wei[alen] = j;
            for(int ij = i;ij<=j;ij++) blo[ij] = alen;
            a[alen].build(ca, l+i-1, l+j-1);
            tmp[alen] = INF;
            i = j+1;
        }
        ++alen; a[alen].build(tmp, 1, alen-1);
    }
    void qu_min_suf(int l, int cn) {Min(suf[l], cn), hav_suf = 1; }
    void qu_min_pre(int r, int cn) {Min(pre[r], cn), hav_pre = 1; }
    void qu_min(int l, int r, int cn)
    {
        if(blo[l] == blo[r]) a[blo[l]].qu_min(l-tou[blo[l]]+1, r-tou[blo[l]]+1, cn);
        else {
            a[blo[l]].qu_min(l-tou[blo[l]]+1, wei[blo[l]]-tou[blo[l]]+1, cn);
            a[alen].qu_min(blo[l]+1, blo[r]-1, cn);
            a[blo[r]].qu_min(1, r-tou[blo[r]]+1, cn);
        }
    }
    int query(int cn) 
    {
        int ans = min(a[alen].query(blo[cn]), a[blo[cn]].query(cn-tou[blo[cn]]+1));
        if(hav_pre) for(int i = cn;i<=n;i++) Min(ans, pre[i]);
        if(hav_suf) for(int i = 1;i<=cn;i++) Min(ans, suf[i]);
        return ans;
    }
};
struct Blo1{
    Blo2 a[MAXSQR2+2];
    int blo[MAXSQR1+1], tou[MAXSQR1+1], wei[MAXSQR1+1];
    int tmp[MAXSQR2+1];
    int n, Sqr, alen;
    void build(int ca[], int l, int r)
    {
        n = r-l+1; Sqr = sqrt(n);
        for(int i = 1;i<=n;)
        {
            int j = min(n, i+Sqr-1); alen++;
            tou[alen] = i; wei[alen] = j;
            for(int ij = i;ij<=j;ij++) blo[ij] = alen;
            a[alen].build(ca, l+i-1, l+j-1);
            tmp[alen] = INF;
            i = j+1;
        }
        ++alen; a[alen].build(tmp, 1, alen-1);
    }
    void qu_min(int l, int r, int cn)
    {
        if(blo[l] == blo[r]) a[blo[l]].qu_min(l-tou[blo[l]]+1, r-tou[blo[l]]+1, cn);
        else {
            a[blo[l]].qu_min_suf(l-tou[blo[l]]+1, cn);
            if(blo[l] < blo[r]-1) a[alen].qu_min(blo[l]+1, blo[r]-1, cn);
            a[blo[r]].qu_min_pre(r-tou[blo[r]]+1, cn);
        }
    }
    int query(int cn) {return min(a[alen].query(blo[cn]), a[blo[cn]].query(cn-tou[blo[cn]]+1)); }
};
Blo1 T;
int n, q1, q2, Seed, A;
int a[MAXN+1];
int main()
{
    cerr<<(sizeof(T))/1024.0/1024.0<<endl;
//    freopen("block.in","r",stdin);
    freopen("block.out","w",stdout);
    Read(n); Read(q1); Read(q2); Read(A); Read(Seed);
    getNum::pre(n, q1, q2, Seed, A);
    for(int i = 1;i<=n;i++) getNum::get_val(a[i]);
    T.build(a, 1, n);
    LL ans = 0;
    for(int i = 1;i<=q1+q2;i++)
    {
        int btyp, bx, bl, br, bpos; 
        getNum::get_ne(btyp, bpos, bl, br, bx);
        if(btyp == 1) T.qu_min(bl, br, bx);
        if(btyp == 2) ans = ans ^ (1ll*T.query(bpos)*i);
    }
    WriteL(ans);
    return 0;
}

 

我的代码：（用了vector，修改甚至要改9次，因此慢了4倍）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=3E6+5;
struct info
{
    int x;
    info(int a=0,int b=0):x(a){}
};
inline void chmax(info&x,const info&y)
{
    if(y.x>x.x)
        x=y;
}
inline int get(int l,int r,int len)
{
    return l*len+r-l*(l+1)/2;
}
struct BLOCK
{
    int n,len,totC,bel[1605],size[1605],toL[1605],toR[1605];
    vector<info>tag[1605],tagB;
    inline void build(int m)
    {
        n=m;
        len=sqrt(n);
        bel[0]=1;
        ++size[1];
        for(int i=1;i<n;++i)
        {
            bel[i]=bel[i-1]+(i%len==0);
            toR[bel[i]]=i;
            ++size[bel[i]];
        }
        for(int i=n-1;i>=0;--i)
            toL[bel[i]]=i;
        totC=bel[n-1];
        for(int i=1;i<=totC;++i)
            tag[i].resize((size[i]+1)*size[i]/2);
        tagB.resize((totC+1)*totC/2);
    }
    inline void change(int l,int r,const info&A)
    {
        int cl=bel[l],cr=bel[r];
        if(cl==cr)
        {
            chmax(tag[cl][get(l-toL[cl],r-toL[cl],size[cl])],A);
            return;
        }
        chmax(tag[cl][get(l-toL[cl],size[cl]-1,size[cl])],A);
        chmax(tag[cr][get(0,r-toL[cr],size[cr])],A);
        if(cl+1<=cr-1)
            chmax(tagB[get(cl+1,cr-1,totC)],A);
    }
    inline info ask(int pos)
    {
        info A(0,0);
        int c=bel[pos],p=0;
        int bias=pos-toL[c];
        for(int l=0;l<size[c];++l)
            for(int r=l;r<size[c];++r,++p)
                if(l<=bias&&bias<=r)
                    chmax(A,tag[c][p]);
        p=0;
        for(int l=0;l<totC;++l)
            for(int r=l;r<totC;++r,++p)
                if(l<=c&&c<=r)
                    chmax(A,tagB[p]);
        return A;
    }
}T1[1605],T2;
int n,len,totC,bel[maxn],toL[maxn],toR[maxn];
inline int ask(int pos)
{
    info A=T1[bel[pos]].ask(pos-toL[bel[pos]]);
    chmax(A,T2.ask(bel[pos]-1));
    return A.x;
}
int TI;
inline void change(int l,int r,int x)
{
    info A(x,++TI);
    int cl=bel[l],cr=bel[r];
    if(cl==cr)
        T1[cl].change(l-toL[cl],r-toL[cl],A);
    else
    {
        T1[cl].change(l-toL[cl],toR[cl]-toL[cl],A);
        T1[cr].change(0,r-toL[cr],A);
        if(cl<=cr-2)
            T2.change(cl,cr-2,A);
    }
}
int size[maxn];
inline void init()
{
    len=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        bel[i]=bel[i-1]+((i-1)%len==0);
        toR[bel[i]]=i;
        ++size[bel[i]];
    }
    for(int i=n;i>=1;--i)
        toL[bel[i]]=i;
    totC=bel[n];
    for(int i=1;i<=totC;++i)
        T1[i].build(size[i]);
    T2.build(totC);
}
mt19937 rd(233);
const int limit=5000;
inline int R(int l,int r)
{
    return rd()%(r-l+1)+l;
}
int main()
{
    freopen("a.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    init();
    int T;
    cin>>T;
    for(int i=1;i<=T;++i)
    {
        int opt;
        if(i%limit==0)
            opt=1;
        else
            opt=0;
        if(opt==1)
        {
            int x=R(1,n);
            cout<<ask(x)<<'\n';
        }
        else
        {
            int l=R(1,n),r=R(1,n),x=i;
            if(l>r)
                swap(l,r);
            change(l,r,x);
        }
    }
    return 0;
}

 

我的代码：优化了很多很多，但变得不可读了。在n=6250000，T=100000000时比zkw快两倍。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=7E6+5;
int n;
int tot2,tot3[2600],tot5;
int len2,len3[2600],len4,len5;
int bel2[maxn],bel3[maxn],bel5[maxn];
int size2[2600],size3[500000],size5[2600];
int toL2[2600],toR2[2600],toL3[500000],toR3[500000],toL5[2600],toR5[2600];
int tag2[maxn],tag3[maxn*52],tag5[maxn],tag4[maxn];
int bias2[2600],bias3[500000],bias5[500000];
int pre2[maxn],suf2[maxn],pre4[maxn],suf4[maxn];
inline int get(int l,int r,int len)
{
    return l*len-l*(l+1)/2+r;
}
inline void init()
{
    len2=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        bel2[i]=bel2[i-1]+((i-1)%len2==0);
        ++size2[bel2[i]];
        toR2[bel2[i]]=i;
    }
    for(int i=n;i>=1;--i)
        toL2[bel2[i]]=i;
    tot2=bel2[n];
    for(int i=1;i<=tot2;++i)
    {
        len3[i]=sqrt(size2[i]);
        for(int j=toL2[i];j<=toR2[i];++j)
        {
            bel3[j]=bel3[j-1]+((j-toL2[i])%len3[i]==0);
            ++size3[bel3[j]];
            toR3[bel3[j]]=j;
        }
        for(int j=toR2[i];j>=toL2[i];--j)
            toL3[bel3[j]]=j;
        tot3[i]=bel3[toR2[i]]-bel3[toL2[i]]+1;
        bias2[i]=bias2[i-1]+(tot3[i]+1)*tot3[i]/2;
    }
    for(int i=1;i<=bel3[n];++i)
        bias3[i]=bias3[i-1]+(size3[i]+1)*size3[i]/2;
    len4=tot2;
    len5=sqrt(tot2);
    for(int i=1;i<=tot2;++i)
    {
        bel5[i]=bel5[i-1]+((i-1)%len5==0);
        ++size5[bel5[i]];
        toR5[bel5[i]]=i;
    }
    for(int i=tot2;i>=1;--i)
        toL5[bel5[i]]=i;
    tot5=bel5[tot2];
    for(int i=1;i<=tot5;++i)
        bias5[i]=bias5[i-1]+(size5[i]+1)*size5[i]/2;
        /*
    for(int i=1;i<=n;++i)
        cout<<bel2[i]<<" ";cout<<endl;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        cout<<bel3[i]<<" ";cout<<endl;
    for(int i=1;i<=tot2;++i)
        cout<<bel5[i]<<" ";cout<<endl;
    for(int i=1;i<=bel3[n];++i)
        cout<<toL3[i]<<" ";cout<<endl;*/
}
inline void chmax(int&x,int y)
{
    x=max(x,y);
}
inline int ask(int pos)
{
    int x=0;
    int p=0;
    int c3=bel3[pos];
    for(int l=toL3[c3];l<=toR3[c3];++l)
        for(int r=l;r<=toR3[c3];++r,++p)
            if(l<=pos&&pos<=r)
                chmax(x,tag3[bias3[c3-1]+p]);
    p=0;
    int c2=bel2[pos];
    for(int l=bel3[toL2[c2]];l<=bel3[toR2[c2]];++l)
        for(int r=l;r<=bel3[toR2[c2]];++r,++p)
            if(l<=c3&&c3<=r)
                chmax(x,tag2[bias2[c2-1]+p]);
    for(int i=pos;bel2[i]==c2;--i)
        chmax(x,suf2[i]);
    for(int i=pos;bel2[i]==c2;++i)
        chmax(x,pre2[i]);
    p=0;
    int c5=bel5[c2];
    for(int l=toL5[c5];l<=toR5[c5];++l)
        for(int r=l;r<=toR5[c5];++r,++p)
            if(l<=c2&&c2<=r)
                chmax(x,tag5[bias5[c5-1]+p]);
    p=0;
    for(int l=1;l<=tot5;++l)
        for(int r=l;r<=tot5;++r,++p)
            if(l<=c5&&c5<=r)
                chmax(x,tag4[p]);
    for(int i=c2;bel5[i]==c5;--i)
        chmax(x,suf4[i]);
    for(int i=c2;bel5[i]==c5;++i)
        chmax(x,pre4[i]);
    return x;
}
inline void change(int l,int r,int x)
{
    int cl2=bel2[l],cr2=bel2[r];
    if(cl2==cr2)
    {
        int cl3=bel3[l],cr3=bel3[r];
        if(cl3==cr3)
        {
            tag3[bias3[cl3-1]+get(l-toL3[cl3],r-toL3[cl3],size3[cl3])]=x;
        }
        else
        {
            tag3[bias3[cl3-1]+get(l-toL3[cl3],size3[cl3]-1,size3[cl3])]=x;
            tag3[bias3[cr3-1]+get(0,r-toL3[cr3],size3[cr3])]=x;
            if(cl3+1<=cr3-1)
            {
                tag2[bias2[cl2-1]+get(cl3+1-bel3[toL2[cl2]],cr3-1-bel3[toL2[cl2]],tot3[cl2])]=x;
            }
        }
    }
    else
    {
        int cl3=bel3[l],cr3=bel3[r];
        suf2[l]=x;
        pre2[r]=x;
        ++cl2,--cr2;
        if(cl2>cr2)
            return;
        int cl5=bel5[cl2],cr5=bel5[cr2];
        if(cl5==cr5)
        {
            tag5[bias5[cl5-1]+get(cl2-toL5[cl5],cr2-toL5[cl5],size5[cl5])]=x;
        }
        else
        {
            suf4[cl2]=x;
            pre4[cr2]=x;
            if(cl5+1<=cr5-1)
            {
                tag4[get(cl5,cr5-2,bel5[tot2])]=x;
            }
        }
    }
}
mt19937 rd(233);
const int limit=1000;
inline int R(int l,int r)
{
    return rd()%(r-l+1)+l;
}
int main()
{
    freopen("a.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(false);
    int T;
    cin>>n;
    init();
    cin>>T;
    for(int i=1;i<=T;++i)
    {
        int opt;
        if(i%limit==0)
            opt=1;
        else
            opt=2;
        if(opt==1)
        {
            int x=R(1,n);
            cout<<ask(x)<<'\n';
        }
        else
        {
            int l=R(1,n),r=R(1,n),x=i;
            if(l>r)
                swap(l,r);
            change(l,r,x);
        }
    }
    return 0;
}