我们先说理性地考虑如下证明：代数数的和仍然是代数数。
设P(a)是n次数多项式，Q(b)是m次多项式，并且最高项系数为1，系数均为有理数，a、b分别是P(a)和P(b)的任意根，满足P(a)=0,P(b)=0。
我们现在要构造一个数列（可能是无限长的），满足$t_0(a+b)^0+t_1(a+b)^1+...+t_k(a+b)^k+...=0$。（虽然我们并没有证明为什么这是能做到的）
不难发现，如果我们将a看成是一个变量，那么就有$a^n=P(a)C(a)+R(a)$，类似于多项式除法，我们有$P(a)=0$，$R(a)=-P_{0}-P_{1}a-P_{2}a^2-...-P_{n-1}a^{n-1}$。b同理。
因此，对于$t_i(a+b)^i$，若其中的某个变量的次数大于n（或者是m），那么我们就将其替代为$R(a)$，那么所有次数均不会超过$n+m-2$。
因此，我们可以将$t_i$换成矩阵。设$A^T=[a^0,a^1,...,a^{n-1}]$，$B^T=[b^0,b^1,...,b^{m-1}]$，满足$A^TM_0B+A^TM_1B+...+A^TM_kB+...=0$，即$A^T(M_0+M_1+...)B=0$。回到我们的原始的问题上，我们必须找到某种方法，将括号内无穷多项矩阵变成有限项。事实上，如果我们能找到一个常系数齐次线性递推，使得$M_g=\sum_{i=1}^{k}M_g-i*r_i$，将式子的左项移至右边，就构造出了一种方案。
于是，我们就想到用BM去寻找线性递推（虽然我们并没有证明这是能做到的）。
另一种构造性的方法：咕咕咕
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