bluestein算法

我们熟知的FFT算法实际上是将一个多项式在2ⁿ个单位根处展开，将其点值对应相乘，并进行逆变换。然而，由于单位根具有“旋转”的特征（即$w_{m}^{j}=w_{m}^{j+m}$），若多项式次数大于二分之长度，FFT将进行一次长度为2ⁿ的循环卷积。bluestein的算法是解决了在任意长度上的循环卷积问题。

 

我们知道，任何一个n次多项式都可以被n+1个点值进行表示，因此如果我们选取所有形如$w_{n+1}^{i}$的单位根并带入多项式，进行类似于FFT的变化（这里没有证明），理应得到正确的结果。

 

设多项式A为$\sum_{i=0}^{n}{a_i*x^i}$，$F_k$为$A(w_{n+1}^{k})$，则$F_k=\sum_{i=0}^{n}{a_i*w_{n+1}^{ik}}$

 

考虑ik的另外一种组合含义，即有两个盒子，每个盒子分别有i个球和k个球，求有多少种拿出两个球且分别属于两个盒子的方法，因此$ik=\tbinom{i+k}{2}-\tbinom{i}{2}-\tbinom{k}{2}$。它的意义在下面推导中可见。

 

因此$F_k=\sum_{i=0}^{n}{a_i*w_{n+1}^{\tbinom{i+k}{2}-\tbinom{i}{2}-\tbinom{k}{2}}}=w_{n+1}^{-\tbinom{k}{2}}\sum_{i=0}^{n}{a_i*w_{n+1}^{-\tbinom{i}{2}}*w_{n+1}^{\tbinom{i+k}{2}}}$

注意到(i+k)-(i)=k，令$A_{-i}=a_i*w_{n+1}^{-\tbinom{i}{2}}$,$B_i=w_{n+1}^{\tbinom{i}{2}}$。因此，A和B的卷积的第k项即为$\frac{F_k}{w_{n+1}^{-\tbinom{k}{2}}}$。由于A的下标为负数，我们将A的下标集体加上n。于是，一次bluestein操作花了三次长度为4n的FFT操作。

 

将多项式转化为点值表达后，我们依葫芦画瓢地将对应位置相乘、进行相应的逆变换（即取单位根的共轭）。而此部分正确性的证明过程是与FFT类似的。

 

例题：poj2821。对于循环卷积B=A*C，求C。

#include<cstdio>
#include<math.h>
#include<cstring>
#include<iomanip>
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef double ld;
const int maxn=(1<<19)+5;
const ld pi=acos(-1);
struct com
{
    ld x,y;
    com(ld a=0,ld b=0):x(a),y(b){}
    com operator+(const com&A){return com(x+A.x,y+A.y);}
    com operator-(const com&A){return com(x-A.x,y-A.y);}
    com operator*(const com&A){return com(x*A.x-y*A.y,x*A.y+y*A.x);}
    com operator/(const ld&d){return com(x/d,y/d);}
    com operator/(const com&A){return com(x,y)*com(A.x,-A.y)/(A.x*A.x+A.y*A.y);}
}A[maxn],B[maxn];
int r[maxn];
inline void DFT(com*A,int limit,int type)
{
    for(int i=1;i<limit;++i)
    {
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(limit>>1):0);
        if(i<r[i])
            swap(A[i],A[r[i]]);
    }
    for(int len=2;len<=limit;len<<=1)
    {
        com d(cos(pi*2/len),sin(pi*2/len)*type);
        for(int i=0;i<limit;i+=len)
        {
            com w(1,0);
            for(int j=0,p1=i,p2=i+len/2;j<len/2;++j,++p1,++p2)
            {
                com x=A[p1],y=A[p2]*w;
                A[p1]=x+y;
                A[p2]=x-y;
                w=w*d;
            }
        }
    }
}
com tmp1[maxn],tmp2[maxn];
inline com get(int k,int n,int type)
{
    ll g=(ll)k*(k-1)/2;
    return com(cos(pi*2/(n+1)*g),sin(pi*2/(n+1)*g)*type);
}
inline void bluestein(com*A,int n,int type)
{
    int limit=1;
    while(limit<4*n+1)
        limit<<=1;
    for(int i=0;i<limit;++i)
        tmp1[i]=tmp2[i]=com(0,0);
    for(int i=0;i<=n;++i)
        tmp1[n-i]=A[i]*get(i,n,-type);
    for(int i=0;i<=n*2;++i)
        tmp2[i]=get(i,n,type);
    DFT(tmp1,limit,1);
    DFT(tmp2,limit,1);
    for(int i=0;i<limit;++i)
        tmp1[i]=tmp1[i]*tmp2[i];
    DFT(tmp1,limit,-1);
    for(int i=0;i<=n;++i)
        A[i]=tmp1[i+n]/limit*get(i,n,-type);
}
int n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    --n;
    for(int i=0;i<=n;++i)
        scanf("%lf",&A[i].x);
    for(int i=0;i<=n;++i)
        scanf("%lf",&B[i].x);
    bluestein(A,n,1);
    bluestein(B,n,1);
    for(int i=0;i<=n;++i)
        A[i]=B[i]/A[i];
    bluestein(A,n,-1);
    for(int i=0;i<=n;++i)
        A[i].x/=(n+1);
    for(int i=0;i<=n;++i)
        printf("%.4f\n",A[i].x);
    return 0;
}