19_07_09校内训练[分组]

题意

将n个数分为若干组，每组中最小的数不能比该组的元素总数多，求方案数。n<=2000。

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思考

若得到n个数的一种大小的划分，则可以简单地求出其方案数。将其从大到小排序后，令larger_i为大于等于i的数字的个数，b[i]为第i个组的大小，sum为b的前缀和，则对于第i个组，其贡献为C(larger[b[i]]-sum[i-1],b[i])。同时若有c个b_i，则还要除以c!。

由于只和最小的数，最小的数的个数有关，令f[i][j][k]为选中了前i个数，当前最小的bi为j，bi有k个。只有k为1时，可以用前缀和优化。当k不为1时，从k-1转移过来，并且除以k。复杂度O(n^3)。

注意到j*k<=i，有用的状态只有n^2logn个，直接动态开数组即可。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 998244353
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int maxn=2E3+5;
int n,a[maxn],larger[maxn],b[maxn],top;
int ans,fac[maxn],invC[maxn],sum[maxn][maxn],inv[maxn];
int*f[maxn][maxn];
int C[maxn][maxn];
ll qpow(ll x,ll y)
{
    ll base=x,ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            ans=ans*base%mod;
        base=base*base%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
inline void add(int&x,int y)
{
    ll g=(ll)x+(ll)y;
    if(g>=mod)
        g-=mod;
    x=g;
}
void init()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        fac[i]=(ll)fac[i-1]*(ll)i%mod;
    invC[n]=qpow(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i>=0;--i)
        invC[i]=(ll)invC[i+1]*(ll)(i+1)%mod;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        inv[i]=qpow(i,mod-2);
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;++j)
        {
            C[i][j]=C[i-1][j];
            add(C[i][j],C[i-1][j-1]);
        }
    }
}
inline int read()
{
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||'9'<ch)
        ch=getchar();
    int sum=ch-'0';
    ch=getchar();
    while('0'<=ch&&ch<='9')
    {
        sum=sum*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return sum;
}
int main()
{
    freopen("game.in","r",stdin);
    freopen("game.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(false);
    n=read();
    init();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        a[i]=read();
        if(a[i]==0)
        {
            cout<<0<<endl;
            return 0;
        }
        ++larger[a[i]];
    }
    for(int i=n-1;i>=1;--i)
        larger[i]+=larger[i+1];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=i+1;++j)
        {
            f[i][j]=new int[i/j+4];
            for(int k=0;k<=i/j+3;++k)
                f[i][j][k]=0;
        }
    for(int j=1;j<=n+1;++j)
    {
        f[0][j]=new int[3];
        for(int k=0;k<=2;++k)
            f[0][j][k]=0;
    }
    f[0][n+1][0]=1;
    for(int i=1;i<=n+1;++i)
        sum[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=1;j<=i;++j)
        {
            if(sum[i-j][j+1])
                f[i][j][1]=(ll)sum[i-j][j+1]*(ll)C[larger[j]-i+j][j]%mod;
            for(int k=2;i-j*k>=0;++k)
            {
                if(f[i-j][j][k-1])
                    f[i][j][k]=(ll)f[i-j][j][k-1]*(ll)inv[k]%mod*(ll)C[larger[j]-i+j][j]%mod;
            }
        }
        for(int j=i+1;j>=1;--j)
        {
            sum[i][j]=sum[i][j+1];
            for(int k=1;i-j*k>=0;++k)
                add(sum[i][j],f[i][j][k]);
        }
    }
    ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;n-i*j>=0;++j)
            add(ans,f[n][i][j]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}